対称函数

この項目では、変数のあらゆる置換に対して不変な関数について説明しています。代数的組合せ論における無限変数への一般化については「対称関数の環」を、ベクトル空間の元を引数にとる対称関数については「対称テンソル」をご覧ください。

対称関数（たいしょうかんすう、英: symmetric function）は、数学において、${\displaystyle n}$ 変数の関数であって、引数の順序によらず値が変わらないものをいう。例えば、2変数の関数 ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)}$ は、${\displaystyle f}$ の定義域に属するすべての ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ に対して ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)}$ が成り立つとき、かつそのときに限り対称関数である。最もよく現れる対称関数は多項式関数であり、対称多項式として与えられる。

密接な概念として交代多項式がある。交代多項式は変数の交換の下で符号が変わる。多項式関数以外にも、複数のベクトルを引数として作用する対称テンソルも対称であり、ベクトル空間 ${\displaystyle V}$ 上の対称 ${\displaystyle k}$-テンソルの空間は ${\displaystyle V}$ 上の ${\displaystyle k}$ 次斉次多項式の空間と同型である。対称関数は偶関数と奇関数と混同してはならない。偶関数・奇関数は別の種類の対称性を持つ。

対称化

アーベル群に値を持つ ${\displaystyle n}$ 変数の任意の関数 ${\displaystyle f}$ から、引数のすべての置換にわたって ${\displaystyle f}$ の値を総和することで対称関数を構成できる。同様に、偶置換にわたる和から奇置換にわたる和を引くことで反対称関数を構成できる。これらの操作はもちろん可逆ではなく、非自明な関数 ${\displaystyle f}$ に対しても恒等的に零になる関数を生み出す可能性がある。${\displaystyle f}$ の対称化と反対称化が両方わかっているときに ${\displaystyle f}$ を回復できる一般的なケースは、${\displaystyle n=2}$ であり、かつアーベル群が2による除算（2倍の逆演算）を許す場合のみである。その場合、${\displaystyle f}$ はその対称化と反対称化の和の半分に等しい。

例

• 実数値の関数 $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$$ を考える。定義により、${\displaystyle n}$ 変数の対称関数は $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{など}}}$$ という性質を持つ。一般に、変数のあらゆる置換に対して関数の値は変わらない。すなわちこの場合、 $${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$$ が成り立ち、${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ のあらゆる置換に対して同様である。
• 関数 $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}}$$ を考える。${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle y}$ を入れ替えると関数は $${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2}}$$ となり、元の ${\displaystyle f(x,y)}$ と全く同じ値を返す。
• 次に関数 $${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}}$$ を考える。${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle y}$ を入れ替えると関数は $${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}}$$ となる。${\displaystyle a\neq b}$ のとき、この関数は元の関数と異なるため、非対称である。

応用

関連項目

• 交代多項式
• 基本対称多項式
• 偶関数と奇関数
• 交換可能確率変数（英語版）
• 準対称関数（英語版）
• 対称関数の環
• 対称化
• ヴァンデルモンド多項式（英語版）

参考文献

• F. N. David、M. G. Kendall、D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables、ケンブリッジ大学出版局。
• Joseph P. S. Kung、Gian-Carlo Rota、Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way、§5.1 Symmetric functions、pp. 222–5、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-73794-4。

表 話 編 歴 テンソルおよびテンソル場
定義、用語集（英語版）
テンソル	テンソル積 テンソル代数 対称代数 交代代数 外積代数 テンソル空間 対称テンソル 反対称テンソル 混合テンソル 共変性と反変性 テンソルの縮約 行列（2階テンソル）の転置
テンソル場	テンソル束（英語版） テンソル解析 リー微分 微分形式 外微分 共変微分 共変外微分（英語版） ホッジ双対 テンソル作用素（英語版） テンソル密度（英語版） 曲線座標系におけるテンソル（英語版）
表記法	添字表記法 アインシュタインの縮約記法 添字の上げ下げ（英語版） 多重指数 リッチ計算法（英語版） ペンローズのグラフ記法 フォークト表記 抽象添字記法 テトラド表記 ファン・デル・ヴェルデン表示
有名なテンソル	数学 テンソル 零テンソル 単位テンソル クロネッカーのデルタ エディントンのイプシロン テンソル場 計量テンソル 接続形式 曲率形式 リーマン曲率テンソル リッチテンソル 捩率テンソル カルタン形式 ワイルテンソル 物理学 慣性モーメント 角運動量 応力テンソル エネルギー・運動量テンソル 電磁場テンソル グルーオン場の強度テンソル アインシュタインテンソル 計量テンソル (一般相対論)
関連分野・応用分野	数学 線形代数 多重線型代数 多様体論 微分位相幾何学 微分幾何学 物理学 • 工学 連続体力学 電磁気学 移動現象論 一般相対性理論 コンピュータビジョン
関連事項	テンソル ベクトル、ベクトル空間 多重ベクトル（英語版） 線型写像 行列 スピノール 次元 基底 テンソル場 多様体 ファイバー束 測地線 レヴィ・チヴィタ接続 アフィン接続
数学者	レオンハルト・オイラー カール・フリードリヒ・ガウス オーギュスタン＝ルイ・コーシー ヘルマン・グラスマン グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ ヤン・アルノルドゥス・スカウテン（英語版） ベルンハルト・リーマン エルヴィン・クリストッフェル ヴォルデマール・フォークト エリ・カルタン ヘルマン・ワイル アルベルト・アインシュタイン
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