転置行列 - Wikipedia日本語版アーカイブ | wikipedia-is-dead.com

転置行列（てんちぎょうれつ、英: transpose [of a matrix], transposed matrix）とは、 $m$ 行 $n$ 列の行列 $A$ に対して $A$ の $(i, j)$ 要素と $(j, i)$ 要素を入れ替えてできる $n$ 行 $m$ 列の行列のことである^[1]。転置行列は $t A, A T, A ⊤, A tr, A'$ などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置（てんち、英: transpose）といい、「 $A$ を転置する」などと表現する。

特に正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。

定義

$m \times n$ 行列

A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}

の転置行列 $t A$ は

{}^{t}A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{m,1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,n}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}

で定義される。このとき $t A$ は $n \times m$ 行列である。

性質

$A, B$ は行列、 $k, l$ はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。

転置の転置は元の行列を与える^[1]（対合性）： $t t A = A$
和の転置は転置の和を与える^[1]（加法性）： $t (A + B) = t A + t B$
行列のスカラー倍の転置は転置行列のスカラー倍を与える^[1]（斉次性）：^t(kA) = k ^tA
- 斉次性および加法性から線型性が成り立つ： $t (kA + lB) = k t A + l t B$
積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える^[1]： $t (AB) = t B t A$

正方行列の性質

逆行列の転置は転置の逆行列を与える^[2]： $t (A - 1) = (t A) - 1$
$n$ 次正方行列 $A$ の跡を $tr A$ で表すと $tr A = tr t A$
$n$ 次正方行列 $A$ の行列式を $det A$ で表すと $det A = det t A$ ^[3]
$n$ 次実正方行列 $A$ , $n$ 次ベクトル $x, y$ に対して、標準内積を $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ で表すと、 $⟨ Ax, y ⟩ = ⟨ x, t Ay ⟩$

転置行列により定義される行列

転置により定義される特別な行列として以下がある^[4]。

対称行列：転置が元の行列と等しい ( $t A = A$ ）
反対称行列：転置が元の行列に −1 をかけたものになる（ $t A = - A$ )
直交行列：転置が元の行列の逆行列になる（ $t A = A - 1$ )

これらの行列はそれぞれ随伴行列（行列のエルミート共役）に対するエルミート行列、歪エルミート行列、ユニタリ行列に相当する。

線形写像との関係

詳細は「転置写像」を参照

$m \times n$ 行列 $A$ を $n$ 次元ベクトル空間 $V$ から $m$ 次元ベクトル空間 $W$ への線形写像 $f : V \to W$ とみなすとき、 $A$ の転置行列 $t A$ には $f$ の転置写像 $t f$ が対応する。これは $W$ の双対空間 $W *$ から $V$ の双対空間 $V *$ への線形写像 $t f : W * \to V *$ で、 $y * \in W *$ に対して