故障率（こしょうりつ、英: failure rate）とは、システムや部品が故障する頻度で、単位時間当たりの故障数で表される。通常、ギリシア文字の λ（ラムダ）で表され、信頼性工学でよく用いられる。

故障率は通常、時間に依存している。例えば、自動車の5年目の故障率は1年目のそれの何倍にもなる可能性がある。

保険、金融、商業においても安全なシステムを設計するための基本的なパラメータである。

1年間の使用でシステムや部品が故障する確率を特に「年間故障率」と表現することがある。

平均故障間隔

故障率の代わりに平均故障間隔（MTBF、1/λ）が報告されることがよくある。MTBFは、故障率が一定の場合に有効であり、複雑なシステムや電子機器によく用いられる。一部の信頼性基準（軍事および航空宇宙）では一般的となっている。故障率が一定ということは、バスタブ曲線の平坦な領域、つまり摩耗型の故障が起こる前の時間領域での寿命を示す。このため、MTBFから耐用年数を推定することは正しくない。バスタブ曲線の「寿命末期の磨耗型」の故障率ははるかに高いため、一般的に耐用年数はMTBFよりもはるかに短寿命になるためである。

MTBFが故障率より好まれる理由は、大きな正の数値（2000時間など）の方が、非常に小さな数値（1時間あたり0.0005など）よりも直感的で覚えやすいためである。

MTBFは故障率を管理する必要があるシステム、特に安全系において重要なパラメータである。設計要件に頻繁に登場し、必要なシステムの保守・点検の頻度を定めるのに役立つ。故障からの回復時間が無視でき、かつ故障率が時間に対して一定である場合、MTBFは故障率の逆数（1/λ）になる。

運輸業界、特に鉄道やトラック輸送で使われている類似の指標に「平均故障距離間隔」（mean distance between failures、MDBF）がある。

故障率の推定

故障率はいくつかの方法で推定できる。故障時間の母集団を正しく推定できれば良い。一般的な手段は次のとおりである。

離散的な故障率

故障率は次のように定義される：

故障率 ${\displaystyle \lambda (t)}$ は、しばしば時間 ${\displaystyle t}$ 以前に故障がない場合に特定の間隔で故障が発生する確率と考えられがちだが、1を超えることもあるので実際には確率ではない。故障率を誤ってパーセント（%）で表現すると、特に修理可能なシステム、故障率一定型でないシステム、または動作時間が異なる複数のシステムについて測定する場合に、この尺度を正しく認識できない可能性がある。故障率 ${\displaystyle \lambda (t)}$ は、信頼性関数 ${\displaystyle R(t)=1-F(t)}$ （時刻 ${\displaystyle t}$ 以前に故障が発生しない確率。生存関数とも呼ばれる）を用いて次のように定義される。

${\displaystyle \lambda (t)={\frac {f(t)}{R(t)}}}$,

ここに ${\displaystyle f(t)}$ は（最初の）故障までの時間分布（すなわち故障密度関数）である。${\displaystyle t_{1}}$（または ${\displaystyle t}$）から ${\displaystyle t_{2}}$ までの時間区間 ${\displaystyle \Delta t}$ = ${\displaystyle (t_{2}-t_{1})}$ において、

${\displaystyle \lambda (t)={\frac {R(t_{1})-R(t_{2})}{(t_{2}-t_{1})\cdot R(t_{1})}}={\frac {R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t\cdot R(t)}}\!}$

ただし、これは条件付き確率であり、時間 ${\displaystyle t}$ 以前に故障が発生していないことが条件である。そのため、分母には ${\displaystyle R(t)}$ が含まれている。

ハザード率（後述）とROCOF（rate of occurrence of failures、故障発生率）は、しばしば故障率と同じものと誤解されることがある^[要説明]。違いを明確にするならば、アイテムの修理が早ければ早いほど、またすぐに壊れるので、ROCOFは高くなる。しかし、ハザード率は、修復時間や物流遅延時間には依存しない。

連続的な故障率

故障率をより小さな時間間隔で計算すると、ハザード関数（hazard function、ハザード率（hazard rate）とも呼ばれる） ${\displaystyle h(t)}$ が得られる。これは、${\displaystyle \Delta t}$ がゼロに近づくにつれて、瞬間故障率（instantaneous failure rate）あるいは瞬間ハザード率（instantaneous hazard rate）と呼ばれるものになる。

${\displaystyle h(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t\cdot R(t)}}.}$

連続故障率は、時刻 ${\displaystyle t}$ まで（少なくとも）の故障確率 ${\displaystyle \operatorname {Pr} }$ を表す累積分布型の故障分布関数 ${\displaystyle F(t)}$ に依存しており、

${\displaystyle \operatorname {Pr} (T\leq t)=F(t)=1-R(t),\quad t\geq 0\!}$

と表される。ここに ${\displaystyle {T}}$ は故障時間である。

この故障分布関数は、故障密度関数 ${\displaystyle f(t)}$ の積分で、

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \!}$

である。これによりハザード関数は、

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{1-F(t)}}={\frac {f(t)}{R(t)}}}$

と定義できる。

故障分布のモデル化においては、多くの確率分布を用いることができる（確率分布のリスト（英語版）を参照）。

一般的なモデルは、指数密度関数に基づく指数故障分布、

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda \tau }\,d\tau =1-e^{-\lambda t}\!}$

である。

これに対するハザード率関数は、

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}={\frac {\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}}=\lambda }$

である。このように、指数故障分布では、ハザード率は時間に対して一定である（つまり「無記憶性（英語版）」分布）。ワイブル分布や対数正規分布のような他の分布では、ハザード関数は時間に対して一定ではない場合がある。確定的分布などの一部では単調増加であり（「摩耗」に類似）、パレート分布などの他の分布では単調減少であるが（「バーンイン（英語版）」に類似）、多くの場合は単調ではない。

微分方程式

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{1-F(t)}}={\frac {F'(t)}{1-F(t)}}}$

を ${\displaystyle F(t)}$ について解くと、

${\displaystyle F(t)=1-\exp {\left(-\int _{0}^{t}h(t)dt\right)}}$

であることがわかる。

故障率減少型

故障率減少型（decreasing failure rate、DFR）とは、ある事象が将来の一定の時間間隔で発生する確率が、時間の経過とともに減少していく現象を表す。故障率減少型は、初期に起こる故障が解消または修正される「初期故障期間」を表すことができ^[1]、λ(t) が減少関数である状況に対応する。

DFR変数の混合はDFRである^[2]。指数分布確率変数の混合は、超指数分布（英語版）である。

参照項目

ポータル 数学

脚注

推薦文献

• Goble, William M. (2018), Safety Instrumented System Design: Techniques and Design Verification, Research Triangle Park, NC 27709: International Society of Automation 
• Blanchard, Benjamin S. (1992). Logistics Engineering and Management (Fourth ed.). Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. pp. 26–32. ISBN 0135241170 
• Ebeling, Charles E. (1997). An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering. Boston: McGraw-Hill. pp. 23–32. ISBN 0070188521 
• Federal Standard 1037C
• Kapur, K. C.; Lamberson, L. R. (1977). Reliability in Engineering Design. New York: John Wiley & Sons. pp. 8–30. ISBN 0471511919 
• Knowles, D. I. (1995). “Should We Move Away From 'Acceptable Failure Rate'?”. Communications in Reliability Maintainability and Supportability (International RMS Committee, USA) 2 (1): 23. 
• MacDiarmid, Preston; Morris, Seymour (n.d.). Reliability Toolkit (Commercial Practices ed.). Rome, New York: Reliability Analysis Center and Rome Laboratory. pp. 35–39 
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• U.S. Department of Defense, (1991) Military Handbook, “Reliability Prediction of Electronic Equipment, MIL-HDBK-217F, 2

外部リンク

• Bathtub curve issues, ASQC
• Fault Tolerant Computing in Industrial Automation by Hubert Kirrmann, ABB Research Center, Switzerland

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	相関係数 ピアソンの積率相関係数 スピアマンの順位相関係数 ケンドールの順位相関係数 偏相関係数 その他 自己相関 空間的自己相関 相互相関 交絡変数 相関関係と因果関係 擬似相関 錯誤相関
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
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