例題1（追いつき旅人算の応用）

あるとき、時計を見たところ、長針と短針がちょうど重なっていた。その時計を見たのが午後5時台であるとき、時刻は何時何分であるか。

1. 旅人算の時計盤上のものと考えられる。
2. 長針の動く速度：360度/60分＝6度/分
3. 短針の動く速度は360度/12時間＝360度/720分＝0.5度/分
4. 5時の時点では、長針と短針のなす角は、360度×5時間/12時間=150度である。
5. (2)・(3)より、長針は短針に1分当たり、6度-0.5度＝5.5度追いつくことになる。
6. よって、5時ちょうどから150度÷5.5度=300/11=273/11分後に長針と短針は重なることがわかる。
7. したがって、273/11分=27分164/11秒に長針と短針が重なることがわかる。
8. すなわち、5時27分164/11秒が答えである。

別解（1次関数を用いた方法）

1. 1時間で短針は5目盛、長針は60目盛移動する。(1目盛=1分)
2. よって短針は毎時5目盛、長針は毎時60目盛の速度となる。
3. x軸を時間(5:00からx時間経過)、y軸を目盛とする。
4. 17:00の座標を(0,0)とする。<=0時間経過、0目盛進む^[1]>
5. 短針は17:00であることから、25目盛を指しているので、(0,25)を起点とし、18:00には30目盛を指すので、(1,30)を通る。この両座標を通る関数は、y=5x+25となる。
6. 長針は17:00であることから、0目盛を指しているので、(0,0)を起点とし、18:00には60目盛を指すので、(1,60)を通る。この両座標を通る関数は、y=60xとなる。
7. したがって、重なる地点は両関数の交点なので、y=5x+25=60xより、(5/11,300/11)となる。
8. 5時より5/11時間経過は不適切な表現であるので、言い換える。
9. 5/11時間は300/11分である。つまり273/11分となるが、これも不適切な表現であるので、言い換える。
10. 3/11分は180/11秒である。すなわち164/11秒となる。
11. 故に、5時27分164/11秒となる。

例題2（出会い旅人算の応用）

9時から10時までの間で，時計の短針と長針が左右対称になるのは何分か。

時計の長針と常に左右対称にあるように動く「長針B」を定義すると、「長針Bと短針が重なるのは9時何分か」という問題になる。

1. 旅人算の時計盤上のものと考えられる。
2. 長針Bの動く速度：360度/60分＝6度/分
3. 短針の動く速度は360度/12時間＝360度/720分＝0.5度/分
4. 9時の時点では、長針Bと短針のなす角は、90度である。
5. (2)・(3)より、長針Bは短針に1分当たり、6度+0.5度＝6.5度近づくことになる。
6. よって、9時ちょうどから90度÷6.5度＝180/13＝1311/13分後に長針Bと短針は重なることがわかる。
7. したがって、1311/13分=13分5010/13秒に長針Bと短針が重なることがわかる。
8. すなわち、9時13分5010/13秒が答えである。

別解（1次関数を用いた方法）

「左右対称」ということは、「時計の12-6を軸として折りたたむと、短長針が重なる」ということである。

1. 短針は時計の9-10の間しか通らないので、9:10～9:15の間が答えだと推測できる。
2. 長針の速度は1時間に60目盛動くので、1分で1目盛動く。
3. 短針の速度は1時間に5目盛動くので、1分で1/12目盛動く。
4. 短針が9から12に移動するには15目盛、長針が12～3に移動するには15目盛進む必要がある。
5. 短長針それぞれ対称となるためには、長針はt目盛、短針は15-t目盛動く必要がある。
6. x軸を9:00からの経過時間、y軸を移動目盛とする。
7. よって9:00(0時間経過、0目盛進む^[2])の座標を(0,0)とする。
8. 長針は12の位置(0目盛)から1時間に60目盛進むので、y=60xと表せる。
9. 短針は9の位置(45目盛)から1時間に5目盛進むので、y=5x+45と表せる。<スタートは同じ9:00>
10. 対称となるのは長針はt目盛、つまりt/60時間進む必要がある。
11. 対称となるのは短針は9の位置(45目盛)から15-t目盛動く必要があるので、60-t目盛の位置まで動かなければならない。この位置に何時間後に着く必要があるかといえば、短針なので、60-t=5x+45より、x=15-t/5時間後でないといけない。
12. 同時間後に対称となる場所にいなければならないので、t/60=15-t/5という方程式が成り立つ。これを解くと、t=180/13となる。
13. これは1311/13分と言い換えられるが、解答としては不適切である。
14. 11/13分は660/13秒、すなわち5010/13秒と表せる。
15. 故に、9時13分5010/13秒が答えである。

例題3（剰余算の応用）

午前と午後を区別する場合は24を法にして時間を計算する。すなわち、時間の計算で数値が24以上になれば24を引き、0よりも小さくなれば24を足して、常に数値が0から23までの範囲に収まるようにする。

• 24時は0時になる。

${\displaystyle 24\equiv 0{\pmod {24}}}$

• 23時の2時間後は1時になる。

${\displaystyle 23+2=25\equiv 1{\pmod {24}}}$

• 3時の15時間前は12時になる。

${\displaystyle 3-15=-12\equiv 12{\pmod {24}}}$

• 17時の100時間後は21時になる。

${\displaystyle 17+100=117=24\times 4+21\equiv 21{\pmod {24}}}$