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準有限射

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数学の1分野である代数幾何学において、スキームの射 f : X → Y が準有限（じゅんゆうげん、英: quasi-finite）であるとは、有限型（英語版）かつ以下の同値な条件をいずれか１つ、したがって全てを満たすことを言う[1]。

  • X の全ての点 x はファイバー f−1(f(x)) の中で孤立している。言い換えれば、全てのファイバーは離散集合（したがって有限集合）である。
  • X の全ての点 x に対して、スキーム f−1(f(x)) = X ×YSpec κ(f(x)) は有限 κ(f(x)) スキームである。ここで、κ(p) は点 p での剰余体である。
  • X の全ての点 x に対して、 は 上有限生成である。

準有限射はアレクサンドル・グロタンディークにより SGA 1 の中で初めて定義されたが、そのときは有限型という仮定はついていなかった。この仮定は、のちに EGA II 6.2 で定義されたときに、準有限性を茎を使って代数的に特徴づけるために追加された。

スキームの射 f : X → Y と X の点 x に対して、f が x で準有限とは、x の開アフィン近傍 U と f(x) の開アフィン近傍 V が存在して、f(U) が V に含まれ、制限 f : U → V が準有限であることを言う。f が局所的に準有限（locally quasi-finite）とは、X の全ての点で準有限であることを言う[2]。準コンパクトかつ局所的に準有限な射は準有限射である。

性質

f を射とすると、以下が成り立つ[3]。

  • f が準有限なら、被約スキームの間に誘導された射 fred も準有限である。
  • X がネーターで f がはめ込み（immersion）なら f は準有限である。
  • 射 g : Y → Z に対し、g ∘ f が準有限で、さらに以下のいずれかが満たされるなら、f は準有限である。
    1. g は分離射
    2. X はネーター
    3. X ×Z Y は局所ネーター

準有限性は基底変換で保たれる。準有限射の合成やファイバー積は準有限である[3]。f が点 x で不分岐なら、f は x で準有限である。逆に、f が x で準有限で、ファイバー f−1(f(x)) での x の局所環 が体でしかも κ(f(x)) の有限次分離拡大になっているなら、f は x で不分岐である[4]。

有限射は準有限である[5]。局所的に有限表示な準有限固有射は有限である[6]。実は、射が有限であるのは固有かつ準有限のとき、かつそのときに限る（ドリーニュ）。

一般化されたザリスキの主定理（英語版）（Zariski's main theorem）とは次の主張である[7]。Y を準コンパクトかつ準分離的、f を準有限かつ分離的かつ有限表示とする。このとき、f は と分解する。ここで、最初の射は開埋入で、次の射は有限射である。つまり、X は Y 上有限なスキームの開集合である。

脚注

  1. ↑ EGA II, Définition 6.2.3
  2. ↑ EGA III, ErrIII, 20.
  3. 1 2 EGA II, Proposition 6.2.4.
  4. ↑ EGA IV4, Théorème 17.4.1.
  5. ↑ EGA II, Corollaire 6.1.7.
  6. ↑ EGA IV3, Théorème 8.11.1.
  7. ↑ EGA IV3, Théorème 8.12.6.

参考文献