球面扇形の体積から直感的に表面積を導出する

以下の議論ベースの計算とは別であるが、球冠の表面積は直感的な議論により球面扇形の体積 ${\displaystyle V_{sec}}$ から導出することができる^[2]。

${\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.}$

直感的な議論は、総体積を無限小の三角錐の総体積を合計することに基づいている。角錐の体積の式${\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'}$（${\displaystyle b}$は各角錐の底面（球体の表面にある）の無限面積で、${\displaystyle h'}$ は底面から頂点（球の中心）までの各角錐の高さ）を用いる。極限をとったときの各${\displaystyle h'}$は定数であり、球の半径${\displaystyle r}$と等しいため、無限小の角錐の底面積の合計は球冠の表面積に等しくなる。

${\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A}$

計算を用いた体積と表面積の導出

体積と表面積の式は次の関数

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}$ (${\displaystyle x\in [0,h]}$)

を調べ、表面積に対しては回転面の式、体積に対しては回転体の式を用いることで導出される。 表面積は

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

である。${\displaystyle f}$の導関数は

${\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}$

であるから

${\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}$

となる。よって表面積の式は

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}$

となる。体積は

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$

となる。

2つの交差する球の和集合と交差部の体積

半径${\displaystyle r_{1}}$ と ${\displaystyle r_{2}}$の球が交差したときの和集合の体積は^[3]、

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,}$

ここで

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

は2つの独立した球の体積の合計で

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

は交差を作り出す2つの球冠の体積の合計。${\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}}$ が2つの球の中心間の距離であるとき、変数${\displaystyle h_{1}}$ と ${\displaystyle h_{2}}$を消すと^[4][5]

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.}$

となる。

平行な平板で囲まれた部分の表面積

2つの平行な平板で囲まれた球台の表面積は、それぞれの球冠の表面積の差である。半径${\displaystyle r}$で高さが${\displaystyle h_{1}}$ と ${\displaystyle h_{2}}$の球冠の場合、表面積は

${\displaystyle A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,}$

であり、地理座標である緯度${\displaystyle \phi _{1}}$ と ${\displaystyle \phi _{2}}$を用いると^[6]

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,}$

となる。例えば、地球を半径6371 kmの球と仮定すると、北極（2016年8月現在、北極圏である緯度66.56°より北^[7]）の表面積は、2π·6371²|sin 90° − sin 66.56°| = 2104万km²で、地球の総表面積の0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4.125%である。

この式を用いることで、地球の表面積の半分が南緯30°と北緯30°の間にあることを示すことができる。この範囲は熱帯を包含する。

他の立体の部分

回転楕円体のドーム(spheroidal dome)は、ドームが円対称（回転軸を持つ）になるように回転楕円体の一部を切り取ることで得られる。楕円体から楕円体のドームも同様に得られる。

超球冠

一般的に、${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間における高さ${\displaystyle h}$ で半径 ${\displaystyle r}$の超球冠の${\displaystyle n}$次元の体積は^[8]

${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t}$

で与えられる。ここで${\displaystyle \Gamma }$（ガンマ関数）は${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$で与えられる。

${\displaystyle V}$の式は、n次元球体単位の体積${\displaystyle C_{n}={\scriptstyle \pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}}$や超幾何関数 ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ 、正規化不完全ベータ関数 ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$ を用いて

${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$と表すことができ、

表面積の式${\displaystyle A}$は、n次元球体単位の表面積${\displaystyle A_{n}={\scriptstyle 2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$を用いて

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$

と表すことができる。ここで${\displaystyle 0\leq h\leq r}$である。

それより前に^[9] (1986, USSR Academ. Press) 次の式が導出されていた。 ${\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=C_{n}p_{n}(q)}$, where ${\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2}$,

${\displaystyle G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt}$.

奇数${\displaystyle n=2k+1:}$に対しては

${\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}}$.