積が非結合的な場合

積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a₁ × a₂ × … × a_n という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

• ${\displaystyle p_{1}=a_{1},}$
• ${\displaystyle p_{k+1}=p_{k}\times a_{k+1}}$

このとき、${\displaystyle p_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}}$ と書くことにすると、

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=(\cdots ((a_{1}\times a_{2})\times a_{3})\times \cdots \times a_{n})}$

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

定義

実数や複素数からなる可算列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}}$ の無限乗積を定義する。無限乗積 ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ が収束するとは2条件

• ある番号 m から先では常に x_n ≠ 0 (n > m)^[1]
• 部分積 p_n := x_m+1 … x_n (n > m) がゼロでない値 P_m に n → ∞ の極限で収束する

が成り立つことをいう^[2][3]。無限乗積 ${\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ が収束するとき、その値を

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}\dotsb x_{m}P_{m}}$

と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、lim_n→∞ x_n = 1 が成り立つ^[4]。

また数列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}}$ に対して無限乗積 ${\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+\vert x_{n}\vert )}$ が収束するとき、無限乗積 ${\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})}$ は絶対収束するという^[5][3]。無限乗積 ${\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})}$ が絶対収束するのは無限級数 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ が絶対収束するとき、かつそのときに限る^[6][3]。

例

三角関数の無限乗積展開^[3]

${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \cos \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}}$

${\displaystyle \sinh \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \cosh \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1+{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}}$

ウォリス積^[7][8]

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}}$

オイラー乗積

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

ガンマ関数^[3][9][10]

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}:=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m},\quad \gamma$ :=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)}

(${\displaystyle \gamma }$はオイラーの定数である)^[3][9]。

qポッホハマー記号 ^[11][12][13]。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}),\quad |q|<1,\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}.\\\end{aligned}}}$

qガンマ関数^[12][13][14]

${\displaystyle \Gamma _{q}(x):=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}},\quad |q|<1.}$

行列を使ってqガンマ関数を定義することもできる^[15]。