多項式の因数分解

多項式を一次式の積に因数分解するのは、「多項式の根を求めること」と本質的に等価な問題であることが分かる。

多項式の根が1つ求まれば、因数分解により、未知の根からなる多項式は次数は下がるため、根をより求めやすくなる。多項式の全ての根を求める手順は以下の通りである^[3]：

1. 多項式 f の根 α を「推測する」。（一般にはこれは「非常に困難」である。ただし、係数体が有理数の場合は、有理根定理により、有理根の候補が有限個に絞れる。係数体が実数の場合は、グラフから根の近似値を求めることができる）
2. 因数定理により x − α は f の因子である。
3. (x − α)g(x) = f(x) となる多項式 g を、実際に f(x) を x − α で多項式として（多項式の長除法（英語版）、組立除法（英語版）などにより）割ることで求める。
4. f の α 以外の根は、g の根である。g の次数は f より一つ下がるから、f の α 以外の根を求めることは、簡単になる。

多変数多項式の因数定理

f を n 個の変数 X₁, X₂, …, X_n の多項式、g を X₁ 以外の n − 1 個の変数 X₂, …, X_n の多項式とする。

定理

f(X₁, X₂, …, X_n) が X₁ − g(X₂, …, X_n) を因子に持つための必要十分条件は、f(g(X₂, …, X_n), X₂, …, X_n) = 0 となることである。

これは f, g を X₁ の多項式と見れば g は X₁ に関して定数であるから、一変数の場合の因数定理から従う^[4]。注目する変数を変えれば、各変数について同様の主張が成り立つ。

例えば f をヴァンデルモンドの行列式

${\displaystyle f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}):={\begin{vmatrix}1&X_{1}&{X_{1}}^{2}&\cdots &{X_{1}}^{n-1}\\1&X_{2}&{X_{2}}^{2}&\cdots &{X_{2}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&X_{n}&{X_{n}}^{2}&\cdots &{X_{n}}^{n-1}\end{vmatrix}}}$

とするとき f(X₂, X₂, …, X_n) = 0 が明らかに成り立つから、g(X₂, …, X_n) ≔ X₂ として因数定理を適用すれば、f は X₁ − X₂ で割り切れると分かる。同様の議論により、f は差積 ⊿(X₁, X₂, …, X_n) で割り切れると分かる。