以下では体 K 実数 体 R 複素数 体 C K m ×n K 元 を成分に持つ m 行 n 列の矩形行列の全体が、通常の和とスカラー倍に関してなすベクトル空間 とする。K m ×n A のノルムを ‖ A ‖
正定値性 ：‖ A ‖ ≥ 0A = O 斉次性 ：α ∈ K , A ∈ K m ×n ‖ αA ‖ = | α | ‖ A ‖ 劣加法性 ：A , B ∈ K m ×n ‖ A + B ‖ ≤ ‖ A ‖ + ‖ B ‖ が全て満たされる。
正方行列 (m = n
劣乗法性 : ‖ AB ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ ∗ ‖ A ‖ = ‖ A ∗ ‖ ここで A ∗ A の随伴 を表す。A が実である場合、その随伴は A ∗ 転置 A ⊤
劣乗法性を持つノルムを劣乗法的ノルム (sub-multiplicative norm) と呼ぶ[注 1] n 次の正方行列全体の成す集合 はバナッハ代数 の一例である。
2つのベクトル空間 K m K n m × n K m ×n
‖
A
‖
=
max
x
∈
K
n
‖
x
‖
K
n
≤
1
‖
A
x
‖
K
m
=
max
x
∈
K
n
‖
x
‖
K
n
=
1
‖
A
x
‖
K
m
=
max
x
∈
K
n
x
≠
0
‖
A
x
‖
K
m
‖
x
‖
K
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|&=\max _{x\in \mathbb {K} ^{n} \atop \|x\|_{\mathbb {K} ^{n}}\leq 1}\|Ax\|_{\mathbb {K} ^{m}}\\[8pt]&=\max _{x\in \mathbb {K} ^{n} \atop \|x\|_{\mathbb {K} ^{n}}=1}\|Ax\|_{\mathbb {K} ^{m}}\\&=\max _{\ x\in \mathbb {K} ^{n} \atop x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{\mathbb {K} ^{m}}}{\|x\|_{\mathbb {K} ^{n}}}}\end{aligned}}}
この行列ノルムは誘導ノルム (induced norm) あるいは作用素ノルム (operator norm) と呼ばれる。m = n 線型写像 の定義域と値域で同じノルムを用いている場合、誘導される作用素ノルムは劣乗法的 である。ベクトルの p ノルムに対応して、作用素ノルム
‖
A
‖
p
=
max
x
≠
0
‖
A
x
‖
p
‖
x
‖
p
{\displaystyle \|A\|_{p}=\max _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}}
が得られる[注 2] p = 1p = ∞
‖
A
‖
1
=
max
1
≤
j
≤
n
∑
i
=
1
m
|
a
i
j
|
,
‖
A
‖
∞
=
max
1
≤
i
≤
m
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\|A\|_{1}&=&\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|,\\&\|A\|_{\infty }&=&\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|\end{alignedat}}}
と計算することができる（前者は各列に対する「成分の絶対値の和」の最大の値で、後者は各行に対する同様の和の最大の値である）。
p = 2m = n ユークリッドノルム を考えた場合には、誘導された行列ノルムはスペクトルノルム (spectral norm) になる。行列 A のスペクトルノルムとは A の最大の特異値 、別な言い方をすれば半正定値行列 A ∗ A 固有値 の平方根
‖
A
‖
2
=
λ
max
(
A
∗
A
)
=
σ
max
(
A
)
{\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\text{max}}(A^{*}A)}}=\sigma _{\text{max}}(A)}
で与えられる。ここで A ∗ A の随伴行列 を表す。
ρ (A )A のスペクトル半径 とすると、誘導ノルムはいずれも不等式
‖
A
‖
≥
ρ
(
A
)
{\displaystyle \|A\|\geq \rho (A)}
を満たす（スペクトル半径は下界を与えている）。つまり ρ (A )A の誘導ノルム全体を動かしたときの下限 である。さらに言えば、
lim
r
→
∞
‖
A
r
‖
1
/
r
=
ρ
(
A
)
{\displaystyle \lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A)}
というスペクトル半径公式 も得られる。
行列の成分ごとのノルムとは、m 行 n 列の行列を mn 成分のベクトルと見なして、ベクトルの通常のノルムを考えたものである。例えばベクトルの p ノルムを利用すれば
‖
A
‖
p
=
(
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
p
)
1
/
p
{\displaystyle \|A\|_{p}=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{\!\!1/p}}
というノルムが得られる[注 2] p = 2p = ∞
p = 2フロベニウスノルム (Frobenius norm) またはヒルベルト＝シュミットノルム (Hilbert– Schmidt norm) と呼ばれる（後者は普通、ヒルベルト空間 の作用素 に限定して使われる）。
このノルムはいくつか異なる定義があるが、
‖
A
‖
F
=
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
2
=
tr
(
A
∗
A
)
=
∑
i
=
1
min
{
m
,
n
}
σ
i
2
{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\textstyle \sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {tr} (A^{*}A)}}={\sqrt {\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\min\{m,n\}}\!\!\!\!{\sigma _{i}}^{2}}}}
のように書くことができる。ここで A ∗ A の随伴 、σi は行列 A の特異値 、tr は行列のトレース を表わす。フロベニウスノルムは K n 標準内積 から得られるノルムになっている。
フロベニウスノルムは劣乗法的 である。数値線型代数学 において有益であり、またフロベニウスノルムは誘導ノルムより計算が容易なことが多い。
最大ノルム (max norm) は p = ∞
‖
A
‖
max
=
max
{
|
a
i
j
|
}
{\displaystyle \|A\|_{\max }=\max\{|a_{ij}|\}}
で定義される。これは劣乗法的ノルム ではない。
シャッテンノルム (Schatten norm) は行列の特異値 を並べたベクトルに対するノルムとして得られる。ベクトルノルムに p ノルムを用いるものをシャッテン p ノルムと呼ぶ。行列 A のシャッテン p -ノルムは、A の特異値を σi で表せば、以下のように定義される[注 2]
‖
A
‖
p
=
(
∑
i
=
1
min
{
m
,
n
}
σ
i
p
)
1
/
p
{\displaystyle \|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\!\!\!\!\sigma _{i}^{p}\right)^{\!\!1/p}}
シャッテンノルム はいずれの p に対しても劣乗法的 である。また、任意の行列 A のユニタリ変換 に対してシャッテンノルムは不変であり[注 3] ユニタリ行列 U , V ‖ UAV ‖ = ‖ A ‖
p = 1, 2, ∞p = 2フロベニウスノルム が得られる。p = ∞スペクトルノルム 、すなわちベクトルの 2 ノルムから誘導される行列ノルム である。
p = 1(nuclear norm) 、トレースノルム、あるいは樊畿 [注 4] (Ky Fan) の n ノルムとして知られるノルム
‖
A
‖
trace
=
tr
(
A
∗
A
)
=
∑
i
=
1
min
{
m
,
n
}
σ
i
{\displaystyle \|A\|_{\text{trace}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {A^{*}A}})=\!\!\!\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\!\!\!\!\sigma _{i}}
が定まる。ここで行列 A ∗ A BB = A ∗ A B の意味で用いている。
空間 K m ×n ‖ • ‖ ab K n ‖ • ‖ a K m ‖ • ‖ b
‖
A
x
‖
b
≤
‖
A
‖
a
b
‖
x
‖
a
{\displaystyle \|Ax\|_{b}\leq \|A\|_{ab}\|x\|_{a}}
を満たすとき、‖ • ‖ a ‖ • ‖ b 両立する (consistent) という。‖ • ‖ a ‖ • ‖ b 誘導される 作用素ノルムは、その定義から明らかに ‖ • ‖ a ‖ • ‖ b
有限次元ベクトル空間 K m ×n ‖ • ‖ α ‖ • ‖ β r , s > 0
r
‖
A
‖
α
≤
‖
A
‖
β
≤
s
‖
A
‖
α
{\displaystyle r\left\|A\right\|_{\alpha }\leq \left\|A\right\|_{\beta }\leq s\left\|A\right\|_{\alpha }}
が任意の行列 A ∈ K m ×n 同値 (equivalent) なノルムであり、空間 K m ×n 位相 を誘導する。
さらに実行列 A ∈ R n ×n ‖ • ‖ k が存在して、k ‖ A ‖ 劣乗法的な ）行列ノルムになる。
行列ノルム ‖ • ‖ p ‖ • ‖ q ‖ • ‖ q ‖ • ‖ p 極小 （英 : minimal ）であると呼ばれる。
実行列 A ∈ R m ×n
‖
A
‖
2
≤
‖
A
‖
F
≤
r
‖
A
‖
2
{\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{2}}
‖
A
‖
F
≤
‖
A
‖
∗
≤
r
‖
A
‖
F
{\displaystyle \|A\|_{F}\leq \|A\|_{*}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{F}}
‖
A
‖
max
≤
‖
A
‖
2
≤
m
n
‖
A
‖
max
{\displaystyle \|A\|_{\max }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\max }}
1
n
‖
A
‖
∞
≤
‖
A
‖
2
≤
m
‖
A
‖
∞
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }}
1
m
‖
A
‖
1
≤
‖
A
‖
2
≤
n
‖
A
‖
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}}
ここで r は行列 A のランクである。
他にも次のような関係は有用である：
‖
A
‖
2
≤
‖
A
‖
1
‖
A
‖
∞
{\displaystyle \|A\|_{2}\leq {\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}}
これはヘルダーの不等式 の特殊例である。
↑ 文献によっては劣乗法的なものに限って行列ノルムと呼ぶものもある。 1 2 3 同じ記法 ‖ • ‖ p 誘導ノルム と成分ごとのノルム 、シャッテン p ノルム はそれぞれ異なるノルムである。 ↑ ユニタリ変換に対する不変性はユニタリ不変性 (unitary invariance) と呼ばれる。 ↑ 正しくは樊 畿 の字を代用する。中国系アメリカ人数学者 Ky Fan にちなんだ呼称
Golub, Gene; Van Loan, Charles F. (1996). Matrix Computations (3rd ed.). Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5413-X Horn, Roger; Johnson, Charles (1985). Matrix Analysis . Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2 Demmel, James W. (1997). “1.7”. Applied Numerical Linear Algebra . Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). ISBN 0-89871-389-7 Meyer, Carl D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). http://www.matrixanalysis.com Watrous, John (2008), “2.4 Norms of operators” , Theory of Quantum Information , University of Waterloo, https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/LectureNotes.html 2016年5月28日 閲覧。
⌬ Phoenix Mesh
CID:
未登録
IPFS未登録
📡 0ピア
N=1
CRITICAL
PQS B60
🔍 P2P検証
⌬ 守護者になる
×
⌬ あなたはすでに守護者です
このページを読んだ瞬間、あなたのブラウザはIPFSノードとして起動し、この記事のNakamoto係数（NK） を+1しました。
読んだという事実が暗号学的証明になる — Proof of Read について →
🌐 ブラウザシーダー（自動起動中）
閲覧 = シーダー参加 です。何もしなくていい。永続モード にすると読んだ記事がブラウザに保存され、次回以降タブを開くだけで自動シーダーになります。
💾 永続モードに切り替える
🔄 セッションのみ（現在）
不参加
方法3: コマンドライン
ipfs pin add IPFSに未登録
閉じる
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|&=\max _{x\in \mathbb {K} ^{n} \atop \|x\|_{\mathbb {K} ^{n}}\leq 1}\|Ax\|_{\mathbb {K} ^{m}}\\[8pt]&=\max _{x\in \mathbb {K} ^{n} \atop \|x\|_{\mathbb {K} ^{n}}=1}\|Ax\|_{\mathbb {K} ^{m}}\\&=\max _{\ x\in \mathbb {K} ^{n} \atop x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{\mathbb {K} ^{m}}}{\|x\|_{\mathbb {K} ^{n}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b18f2c80a50c3bdf04e3dbeef0e373cda80f998)
