グリーン関数 (多体理論)

1粒子グリーン関数

場の量子論では、遅延グリーン関数 (retarded Green function) ${\displaystyle G_{A.B}^{\mathrm {r} }}$、先進グリーン関数 (advanced Green function) ${\displaystyle G_{A.B}^{\mathrm {a} }}$、因果グリーン関数 (causal Green function) ${\displaystyle G_{A.B}^{\mathrm {c} }}$ を総称している。これらはまとめて二時間グリーン関数 (two-point Green function) とも呼ばれ^[1]、次のように定義される。^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{A.B}^{\mathrm {r} }&={\frac {\theta (t-t')}{i\hbar }}\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {B}}(t')]_{\pm }\rangle \\G_{A.B}^{\mathrm {a} }&=-{\frac {\theta (t-t')}{i\hbar }}\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {B}}(t')]_{\pm }\rangle \\G_{A.B}^{\mathrm {c} }&={\frac {1}{i\hbar }}\langle T[{\hat {A}}(t){\hat {B}}(t')]\rangle \end{aligned}}}$

ここで ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ は基底状態での期待値を表す。演算子の時間依存性はハイゼンベルク描像を表す。θ(x) は階段関数、[ˆA, ˆB]_± := ˆAˆB ± ˆBˆA は交換子、T は時間順序積である。

ˆA, ˆB がそれぞれ場の演算子 ψ(r, t), ψ^†(r, t) あるいは生成消滅演算子である場合、二時間グリーン関数 G(r, t, r', t') は1粒子グリーン関数（あるいは、1体グリーン関数； single particle Green's function）と呼ばれる。^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}G^{\mathrm {r} }({\boldsymbol {r}}t,{\boldsymbol {r}}'t')&={\frac {\theta (t-t')}{i\hbar }}\langle [{\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}},t),{\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}',t')]_{\pm }\rangle \\G^{\mathrm {a} }({\boldsymbol {r}}t,{\boldsymbol {r}}'t')&=-{\frac {\theta (t-t')}{i\hbar }}\langle [{\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}},t),{\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}',t')]_{\pm }\rangle \\G^{\mathrm {c} }({\boldsymbol {r}}t,{\boldsymbol {r}}'t')&={\frac {1}{i\hbar }}\langle T[{\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}},t){\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}',t')]\rangle \end{aligned}}}$

これらの関数がグリーン関数と呼ばれる理由は、二時間グリーン関数が、相互作用がない場合の時間依存シュレーディンガー方程式の数学的な意味でのグリーン関数になっているからである。 ^{[3] [4]}

n粒子グリーン関数

n 粒子因果グリーン関数は次のように定義される。^[5]

${\displaystyle G({\boldsymbol {r}}_{1}t_{1},{\boldsymbol {r}}_{2}t_{2},\dotsc ,{\boldsymbol {r}}_{2n}t_{2n})=(-i)^{n}\langle T[\psi ({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1})\dotsc \psi ({\boldsymbol {r}}_{n},t_{n})\psi ^{\dagger }({\boldsymbol {r}}_{n+1},t_{n+1})\dotsc \psi ^{\dagger }({\boldsymbol {r}}_{2n},t_{2n})]\rangle }$

グランドポテンシャル

グランドポテンシャルは、ハミルトニアンの相互作用項が2体の演算子であるにも関わらず1粒子温度グリーン関数を用いて表すことができる^[5]。グランドポテンシャルが求まれば、そこからあらゆる熱力学的な物理量を計算することができる。

線形応答

線形応答理論の久保理論の応答関数${\displaystyle \Phi _{A,B}}$は、遅延グリーン関数${\displaystyle G_{A.B}^{\mathrm {r} }}$と同じ形をしている^[6]。遅延グリーン関数は温度グリーン関数${\displaystyle G_{A.B}^{\tau }}$を解析接続すると得られる。物理量${\displaystyle A,B}$は一組の生成演算子と消滅演算子を用いて表されることが多く、その場合の温度グリーン関数は2粒子温度グリーン関数となる^[5]。2粒子温度グリーン関数は、ファインマンダイアグラムで展開することができる。