グーゴルプレックス

Googleの本社「グーグルプレックス」とは異なります。

グーゴルプレックス（英語: googolplex）とは、数の単位であり、1グーゴルプレックスは10の1グーゴル乗（${\displaystyle 10^{1\,{\text{googol}}}}$）、すなわち10の(10の100乗)乗（${\displaystyle 10^{10^{100}}=10^{1\overbrace {000\cdots 000} ^{100}}}$）である^[1]。1グーゴルプレックスは、1の後に0を1グーゴル個つけることによって表される整数である。

歴史

グーゴルとグーゴルプレックスに関する経緯は、1940年にエドワード・カスナーとジェームズ・ニューマン（英語版）の著書 "Mathematics and the Imagination（英語版）" で紹介されている^[1]。

グーゴルプレックスは、元となるグーゴルと共に、カスナーの当時9歳の甥ミルトン・シロッタ（Milton Sirotta）が創った。シロッタは ${\displaystyle 10^{100}}$ に対する名前としてグーゴルを名付けたのと同時に、さらに大きな数としてグーゴルプレックスを造語した。

グーゴルプレックスの当初の定義は「1の後に0を疲れるまで書き続けた数」であったが、カスナーは「人によっていつ疲れるかという時間は異なる。プリモ・カルネラは持久力があるというだけでアルベルト・アインシュタインよりも良い数学者だということにはならない」として、グーゴルプレックスを「1の後に0がグーゴル個続く数」と定義を与えた。

大きさ

グーゴルプレックスは非常に大きな数であるが、グーゴルプレックス程度の大きさの具体例はいくつかある。

ドン・ペイジ（英語版）はグーゴルプレックスの具体例の説明として、内部状態が ${\displaystyle 10^{10^{100}}}$ になるブラックホールの質量は ${\displaystyle {\sqrt {\frac {10^{100}\times \ln(10)}{4\pi }}}\ m_{\text{P}}\approx 9.316\times 10^{41}\ {\text{kg}}\approx 4.685\times 10^{11}\ M_{\odot }}$ であると計算している^[2]。

マックス・テグマークは、宇宙が無限に大きいと仮定し、宇宙の地平面の外側に、私たちの観測可能な宇宙と全く同じ物質の配置を持つハッブル体積が出現するまでの平均移動距離を ${\displaystyle \sim 10^{10^{115}}\ {\text{m}}}$ と計算した。なお半径100光年以内に小さくした場合、平均移動距離は ${\displaystyle \sim 10^{10^{91}}\ {\text{m}}}$ と計算している^[3]。

Melvin M. Vopson は、観測可能な宇宙の中にあるバリオン物質に含まれる情報量は ${\displaystyle \sim 6.036\times 10^{80}\ {\text{bit}}=10^{10^{80.2593}}}$ と推定した^[4]。

ロジャー・ペンローズは、観測可能な宇宙の中にあるバリオン（${\displaystyle \sim 10^{80}}$）がブラックホールに崩壊する際のエントロピーが ${\displaystyle \sim 10^{10^{123}}}$ であることから、私たちの宇宙の初期状態が偶然で発生するには、その ${\displaystyle 10^{10^{123}}}$ 倍以上の体積が必要であると計算した^[5]。

表記

グーゴルプレックスを表すにはいくつか等価な表記がある。

名称	表記
クヌースの矢印表記	${\displaystyle 10\uparrow 10\uparrow 100}$
コンウェイのチェーン表記	${\displaystyle 10\rightarrow (10\rightarrow 100)}$
ハイパー演算表記	${\displaystyle 10[3]10[3]100,~H_{3}\left(10,H_{3}(10,100)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {hyper} \left(10,3,\operatorname {hyper} (10,3,100)\right),~\operatorname {hyper3} \left(10,\operatorname {hyper3} (10,100)\right)}$
バウアーズの配列表記	${\displaystyle \lbrace 10,\lbrace 10,100,1\rbrace ,1\rbrace }$
反復指数表記	${\displaystyle \exp _{10}^{1}\left({10}^{100}\right)}$

派生形

グーゴルプレックスが ${\displaystyle 10^{1\,{\text{googol}}}}$ であることから、プレックスを ${\displaystyle n{\text{-plex}}=10^{n}}$ を表す接尾語と見なす考えがある。これは1987年にルーディ・ラッカーが考案している^[6][7]。ラッカーはプレックスを重ねたもの、例えば ${\displaystyle n{\text{-plexplex}}=10^{10^{n}}}$ にも言及しているため^[6]、これに基づけば、例えばグーゴルプレックスプレックス（Googolplexplex） ${\displaystyle =10^{10^{1\,{\text{googol}}}}=10^{10^{10^{100}}}}$ という数が考えられる。

ジョン・ホートン・コンウェイとリチャード・ケネス・ガイの著書 "The Book of Numbers（英語版）" では、プレックスと共にマイネックス ${\displaystyle n{\text{-minex}}=10^{-n}}$ という接尾語が紹介されている。考案者は時枝正とされている^[7]。これに基づけば、例えばグーゴルマイネックス（Googolminex） ${\displaystyle =10^{-1{\text{googol}}}=10^{10^{-100}}}$ という数が考えられる。

その他

• カリフォルニア州サンタクララ郡マウンテンビューにあるGoogleの本社の愛称「Googleplex」はグーゴルプレックスにちなむ。
• アメリカ合衆国のバンドClutchは2002年に『Live at the Googolplex』というタイトルのアルバムをリリースした。
• 映画「バック・トゥ・ザ・フューチャー PART3」では、恋人を失ったエメット・ブラウン博士が「100万人に1人、10億人に1人、いや1グーゴルプレックス人に1人の女だった（英: One in a googolplex.）」と嘆くシーンがある。

脚注

関連項目

• グーゴル
• 巨大数
• 数の一覧
• 不可説不可説転