ジェラベク双曲線

幾何学において、ジェラベク双曲線^{[注釈 1]}（ジェラベクそうきょくせん、英: Jerabek hyperbola）は、チェコの数学者ヴァーツラフ・ジェラベク（英語版、チェコ語版）にちなんで名付けられた、三角形の頂点、外心、垂心などを通る双曲線である^[1]。オイラー線の等角共役点の軌跡としても定義される。

双曲線上の点

ジェラベク双曲線は、三角形の頂点、外心、垂心の他、以下の点などを通る^[2]。番号は三角形の中心、 Encyclopedia of Triangle Centers を参照。

• 類似重心X₆、重心X₂の等角共役
• コスニタ点X₅₄、九点円の中心X₅の等角共役
• ド・ロンシャン点X₂₀の等角共役X₆₄
• 接触三角形の垂心X₆₅、シフラー点X₂₁の等角共役
• プラソロフ点X₆₈、垂心三角形の垂心三角形と元の三角形の配景の中心X₂₄の等角共役
• 逆補三角形の類似重心X₆₉、接線三角形と垂心三角形の相似の中心X₂₅の等角共役

双曲線の中心

Encyclopedia of Triangle Centers では、ジェラベク双曲線の中心（Jerabek center^[3]）はX₁₂₅として登録されており、三線座標によって以下の式で与えられる^[4]。

${\displaystyle \cos A\sin ^{2}(B-C):\cos B\sin ^{2}(C-A):\cos C\sin ^{2}(A-B)}$

式

ジェラベク双曲線は、三線座標(x : y : z)を用いて、以下の式で表される^[2]。

${\displaystyle {\frac {a(\sin 2B-\sin 2C)}{x}}+{\frac {b(\sin 2C-\sin 2A)}{y}}+{\frac {c(\sin 2A-\sin 2B)}{z}}=0}$

第四交点

ジェラベク双曲線と外接円の第四交点は Encyclopedia of Triangle Centers でX₇₄として登録されており、三線座標は以下の式で与えられる^[6]。

${\displaystyle {\frac {1}{\cos A-2\cos B\cos C}}:{\frac {1}{\cos B-2\cos C\cos A}}:{\frac {1}{\cos C-2\cos A\cos B}}}$

脚注

関連項目

• キーペルト双曲線
• フォイエルバッハ双曲線
• 三角形の円錐曲線
• 外接円錐曲線