プラソロフ点

ユークリッド幾何学において、プラソロフ点（プラソロフてん、英: Prasolov point）は、三角形の中心の一つである。クラーク・キンバーリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(68)として登録されている^[1]。名称はロシアの数学者、ヴィクトル・ヴァシーリエヴィッチ・プラソロフ（ロシア語版）が著書「Задачи по планиметрии」（面積測定の問題）で証明したことに由来する^[2]。

定義

△ABCについて、九点円の中心をN、垂足三角形を△H_aH_bH_cとする。また、H_a,H_b,H_cをそれぞれNで鏡映した点をH'_a,H'_b,H'_cとする。△ABCと△H'_aH'_bH'_c（第二オイラー三角形,2nd Euler triangle^[3]）の配景の中心、つまりAH'_a,BH'_b,CH'_cの交点をプラソロフ点という^[4][5]。

性質

• H_a,H_b,H_cを中心とし、それぞれA,B,Cを通る円の根心はプラソロフ点である^[1]。
• △DEFを外心の擬調和三角形、D,E,FをそれぞれBC,CA,ABで鏡映した点をD',E',F'とする。△ABCと△D'E'F' （外心フールマン三角形）の配景の中心はプラソロフ点である。
• 九点円の中心、類似重心と共線である。
• 垂足三角形の垂足三角形と元の三角形の配景の中心X(24)の等角共役点である。X(24)はオイラー線上にある。
• ジェラベク双曲線上にある^[6]。
• プラソロフ点の重心座標は以下の式で表される。

${\displaystyle \tan 2A:\tan 2B:\tan 2C}$

出典

1. 1 2 “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X68”. faculty.evansville.edu. 2024年3月30日閲覧。
2. ↑ образование, Математическое (ロシア語). Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 2007 // Библиотека Mathedu.Ru. https://www.mathedu.ru/text/prasolov_zadachi_po_planimetrii_2007/p0/ 
3. ↑ “Index of triangles”. faculty.evansville.edu. 2024年4月25日閲覧。
4. ↑ Weisstein, Eric W. "Prasolov Point". mathworld.wolfram.com (英語).
5. ↑ Sava Grozdeva,Deko Dekov (2015). “A Survey of Mathematics Discovered by Computers”. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM) 0: 14. https://journal-1.eu/2015/01/Grozdev-Dekov-A-Survey-pp.3-20.pdf. 
6. ↑ Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola". mathworld.wolfram.com (英語).