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中点三角形

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三角形とその中点三角形（赤い辺のものが中点三角形）

中点三角形（ちゅうてんさんかくけい、英:medial triangle, midpoint triangle）または補三角形[1]、中三角形[2]は、三角形の3辺の中点を頂点とする三角形である。

性質

中点三角形の3辺の長さは元の三角形の半分である。これは中点連結定理から容易に導かれる。これより、中点三角形と元の三角形は相似であり、その比は 1:2 であることが分かる。また、相似の中心は重心（2つの三角形の重心は一致する）である。

元の三角形に対する中点三角形のように、重心を中心に-1/2拡大した図形を、元の図形の「Complement」と言う。図形が点であるなら、そのComplementを補点という。以下の表もComplementの一例である[3]。

元の三角形との対応関係

中点三角形元の三角形
頂点辺の中点
重心重心
内心シュピーカー点
外心九点円の中心
垂心外心
ジェルゴンヌ点 ミッテンプンクト
ナーゲル点内心
ド・ロンシャン点垂心
第三ブロカール点 ブロカール中点
オイラー線オイラー線
外接円九点円
内接円シュピーカー円
シュタイナーの外接楕円 シュタイナーの内接楕円

座標

重心座標系で、中点三角形は以下の式で表される[4]。

逆補三角形

逆補三角形[1]（Anticomplementary triangle[5]）または反中点三角形[6]とは三角形ABCを中点三角形とする三角形である。元の三角形、中点三角形と相似である。英名の「Anticomplementary」は、逆補三角形の頂点が元の三角形のAnticomplement、重心を中心に-2倍に拡大した点（逆補点）であること（2:1の反転[7]）に由来する[8]。

逆補三角形は重心座標で以下の式で表される。

脚注

  1. 1 2 『初等幾何学 第1巻 平面之部』山海堂書店、1913年、538頁。doi:10.11501/930885。
  2. ↑ 『英和数学新字典』開新堂、1902年、184,311頁。doi:10.11501/826188。
  3. ↑ Weisstein, Eric W.. “Complement” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月30日閲覧。
  4. ↑ Weisstein, Eric W.. “Medial Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年7月13日閲覧。
  5. ↑ Weisstein, Eric W.. “Anticomplementary Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年7月13日閲覧。
  6. ↑ “三角形の心”. taurus.ics.nara-wu.ac.jp. 2024年7月13日閲覧。
  7. ↑ 一松, 信 編『重心座標による幾何学』（初版）現代数学社、京都市、2014年、20頁。ISBN 978-4-7687-0437-0。
  8. ↑ Weisstein, Eric W.. “Anticomplement” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月30日閲覧。