ブロカール点

ブロカール点（ブロカールてん、Brocard point）は、幾何学用語のひとつ。第一と第二の2つがあり、それぞれ任意の三角形においてひとつずつ存在する。

1875年に論文を発表したフランスの軍人アンリ・ブロカール (Henri Brocard、1845 - 1922) から命名された。

第一ブロカール点(1st Brocard point)

△ABCの内部の点Ωにおいて、∠ΩAB=∠ΩBC=∠ΩCA=ωを満たす点のこと。

第二ブロカール点(2nd Brocard point)

△ABCの内部の点Ω'において、∠Ω'AC=∠Ω'CB=∠Ω'BA=ωを満たす点のこと。

それぞれの三線座標は以下のように与えられる^[1]。

${\displaystyle {\frac {c}{b}}:{\frac {a}{c}}:{\frac {b}{a}},\ {\frac {b}{c}}:{\frac {c}{a}}:{\frac {a}{b}}}$

ブロカール角

定義中に登場した角度ωをブロカール角と呼ぶ。三角形の3つの角の大きさをαβγ、3辺の長さを abc、面積を S とすると以下の式が成り立つ。

• ${\displaystyle \cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma }$
• ${\displaystyle \tan \omega ={\frac {4S}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$
• ${\displaystyle \sin \omega ={\frac {2S}{\sqrt {b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \omega \leq 30^{\circ }}$

その他の性質

• 2つのブロカール点と外心との距離は等しい。
• 2つのブロカール点は外心とルモワーヌ点を直径の両端とする円の上にある。この円をブロカール円という。

関連する点

2つのブロカール点の中点をブロカール中点という。この点は外心と類似重心を結ぶ直線（ブロカール軸）上にある。ブロカール中点X(39)の三線座標は以下のように与えられる^[2]。

${\displaystyle a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2})}$

ΩB と Ω'C の交点を A'、ΩC と Ω'A の交点を B'、ΩA と Ω'B の交点を C' としたとき、AA',BB',CC' は1点で交わる。この点を第三ブロカール点という。この点は類似重心の等長共役点であり、キーペルト双曲線上にある。第三ブロカール点X(76)の三線座標は以下のように与えられる^[2]。

${\displaystyle {\frac {1}{a^{3}}}:{\frac {1}{b^{3}}}:{\frac {1}{c^{3}}}}$

四角形におけるブロカール点

ロバート・タッカーが1886年の Educational Times 誌において^[3]、F. G. W. Brown が1917年の The Mathematical Gazette において、四角形のブロカール点について記述している^[4]。

四角形が ABCD が円に内接し、AB×CD=BC×DA のとき（調和四角形であるとき）、∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=ω となる点Pが存在する。同様に∠QAD=∠QBA=∠QCB=∠QDC=ω となる点Qが存在する。

脚注

1. ↑ Weisstein, Eric W.. “Brocard Points” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月21日閲覧。
2. 1 2 “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年3月21日閲覧。
3. ↑ Tucker, Robert (1886). “Some properties of a quadrilateral in a circle, the rectangles under whose sides are equal.”. Educational Times: 125-135. https://www.google.co.jp/books/edition/Mathematical_Questions_and_Solutions/jINHAQAAMAAJ. 
4. ↑ F. G. W. Brown (1917-05). “508. [K1. 8. a.] Brocard Points for a Quadrilateral.”. The Mathematical Gazette 9 (129): 83-85. doi:10.2307/3603502. 

関連項目

• 三角形の中心
• ブロカール円
• 類似中線

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Brocard Points". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Third Brocard Point". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Brocard Midpoint". mathworld.wolfram.com (英語).

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