ディリクレベータ関数

第一種オイラー積分の「ベータ関数」とは異なります。

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ディリクレベータ関数（ディリクレベータかんすう、英: Dirichlet beta function）とは、数学におけるリーマンゼータ関数と密接な関係がある特殊関数である。名称はドイツの数学者であるペーター・グスタフ・ディリクレにちなむ。

定義

ディリクレベータ関数は、複素数 s と正の整数 n に対して、

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}=1-{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots }$

で定義される関数 β である。上記の級数は s の実部が 0 より大きい場合、すなわち Re s > 0 の場合にのみ収束するが、解析接続による操作を施すことによりすべての複素数で有効な値をもつ正則な有理型関数となる。ガンマ関数 Γ を用いれば、

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\varGamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}\,x^{s-1}}{1+e^{-2x}}}\,{\rm {d}}x}$

と、リーマンゼータ関数^{[注釈 1]}と類似した積分表示ができる。

性質

特殊値

ディリクレベータ関数に整数を代入したものをディリクレベータ関数の特殊値という。級数による定義において、たとえば s = 1 を代入すると、

${\displaystyle \beta (1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

のように値が求まり、これはよく知られたライプニッツの公式と一致する。さらに、この他にも値を代入すれば、

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \beta (1)={\frac {\pi }{4}}=0.78539\,81633\,97448\ldots }$

${\displaystyle \beta (2)=G=0.91596\,55941\,77219\ldots }$

${\displaystyle \beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}=0.96894\,61462\,59369\ldots }$

${\displaystyle \beta (4)={\frac {1}{768}}{\biggl [}\psi ^{(3)}\!{\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}-8\pi ^{4}{\biggr ]}=0.98894\,45517\,41105\ldots }$

${\displaystyle \beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}=0.99615\,78280\,77088\ldots }$

${\displaystyle \beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}=0.99955\,45078\,90539\ldots }$

のように求まる。ただし、ここで G はカタランの定数、ψ⁽ⁿ⁾ はポリガンマ関数である。リーマンゼータ関数において、偶数に対する特殊値はレオンハルト・オイラーがバーゼル問題を解決するとともに一般化したが、奇数に対する値はよく知られていない。一方、ディリクレベータ関数は、奇数 2n + 1 に対して、

${\displaystyle \beta (2n+1)={\frac {(-1)^{n}\,E_{2n}\,\pi ^{2n+1}}{4^{n+1}\,(2n)!}}}$

が成り立つこと分かっている。ただし、ここで E_n は n 番目のオイラー数である。

脚注

注釈

1. ↑ ${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\varGamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{-x}-1}}\,{\rm {d}}x}$

• Blagouchine, I. V. (2014). “Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results”. Ramanujan J. 35 (1): 21–110. doi:10.1007/s11139-013-9528-5. https://www.researchgate.net/publication/257381156_Rediscovery_of_Malmsten's_integrals_their_evaluation_by_contour_integration_methods_and_some_related_results. 
• Glasser, M. L. (1972). “The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures”. J. Math. Phys. 14 (3): 409. Bibcode: 1973JMP....14..409G. doi:10.1063/1.1666331. 
• J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet Beta Function". mathworld.wolfram.com (英語).

表 話 編 歴 数論における L 関数
解析的な例	リーマンゼータ関数 特殊値 ディリクレ L 関数 ヘッケ指標の L 関数 保型 L 関数 セルバーグクラス
代数的な例	デデキントゼータ関数 アルティン L 関数 ハッセ・ヴェイユ L 関数 モチーフの L 関数
定理	解析的類数公式 ヴェイユ予想
解析的予想	リーマン予想 一般化されたリーマン予想 リンデレフ予想（英語版） ラマヌジャン・ピーターソン予想 アルティン予想
代数的予想	バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想 ドリーニュ予想 ベイリンソン予想 ブロック・加藤予想 ラングランズ予想
p 進 L 関数	岩澤主予想 セルマー群 オイラー系（英語版）

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