調和四角形

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ユークリッド幾何学において、調和四角形^[1]（ちょうわしかくけい、英: harmonic quadrilateral, harmonic quadrangle）は、円に内接し、2つの対辺の長さの積が等しい四角形である^[2]。調和共役、類似中線と関連する幾つかの有用な性質を持つ。

性質

調和四角形ABCDの対角線ACの中点をMとする。

• AとCにおける外接円の接線と直線BDは、一点で交わる（か平行である）。したがって、対角線の極はもう一方の対角線上にある^[3][4]。
• ∠BMCは∠DMCと等しい。
• 角B, Dの二等分線は対角線AC上で交わる。
• 対角線BDはそれぞれ△ABC, △ADCの頂点B, Dにおける類似中線である。
• 四角形の対角点と辺の距離と、辺長の比は等しい。
• 対角点は四角形の内部の点の中で、辺との距離の平方の和を最小化する点である^[5]。
• A, B, C, Dを複素平面上の点と見なしたとき、複比(ABCD) = −1である^[4]。

• 
  AとCにおける外接円の接線と直線BDは、一点で交わる（か平行である）
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  ∠BMC = ∠DMC
• 
  角B, Dの二等分線は対角線AC上で交わる。
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  四角形の対角点と辺の距離と、辺長の比は等しい。

出典

参考文献

• Gallatly, W. "The Harmonic Quadrilateral." §124 in The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, pp. 90 and 92, 1913.

関連項目

• 擬調和三角形

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