プリズマトイド

プリズマトイド（ぷりずまといど、英: prismatoid）または柱状多面体(ちゅうじょうためんたい)とはすべての頂点が互いに平行な2平面上にある凸多面体であり、その側面は台形または三角形である^[1]。とくに平行な両平面が同じ数の頂点を持ち、そして側面が平行四辺形または台形であるものはプリズモイドまたは角柱状多面体(かくちゅうじょうためんたい)と呼ばれる^[2]。

体積

2つの平行な面の面積を${\displaystyle A_{1},A_{3}}$、両平面間の距離を${\displaystyle h}$、その両平面と平行かつそれらのちょうど真ん中を通る平面でプリズマトイドを切断したときの断面積を${\displaystyle A_{2}}$とすると、プリズマトイドの体積は$${\displaystyle V={\frac {h(A_{1}+4A_{2}+A_{3})}{6}}}$$で与えられる^[3]。この公式はプリズマトイドを底面と平行な平面で切断したときの断面積を、その平面と底面の高さで積分し、シンプソンの公式によって計算することで直ちに従う。なぜならプリズマトイドの断面積は高さに対して高々2次以下の多項式で表され、シンプソンの公式は3次以下の多項式の定積分においては厳密に成り立つからである。

プリズマトイドの例

角錐	くさび形	平行六面体	角柱	反角柱			台塔	錐台

以下はプリズマトイドの例である:

• 角錐、平行な2面の内片方のみが1点だけを含む^[4]
• くさび形、平行な2面の内片方のみが1点だけを含む
• 角柱、2平面上の多角形が合同で側面が長方形または平行四辺形^[4]
• 反角柱、2平面上の多角形が合同で側面が互い違いの三角形^[5]
• 星形交差反柱
• 台塔、2平面の内片方が含む多角形の頂点の数がもう片方の2倍で側面は三角形と長方形が交互になっている
• 錐台、切頭された角錐;
• 四角形の面を持つ六面体プリズマトイド:
  1. 平行六面体 – 6枚の平行四辺形の面を持つ
  2. 菱形六面体 – 6枚のひし形の面を持つ
  3. ねじれ双三角錐 – 6枚の合同なひし形の面を持つ
  4. 直方体 – 6枚の長方形の面を持つ
  5. 四角錐台 – 切頭された四角錐
  6. 立方体 – 6枚の正方形の面を持つ

出典

1. ↑ Kern, William F.; Bland, James R. (1938). Solid Mensuration with proofs. p. 75. https://books.google.com/books?id=Y6cAAAAAMAAJ 
2. ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. 50. Mathematical Association of America. p. 85. ISBN 978-1-61444-216-5. https://books.google.com/books?id=FEl2CgAAQBAJ&pg=PA85 
3. ↑ Meserve, B. E.; Pingry, R. E. (1952). “Some Notes on the Prismoidal Formula”. The Mathematics Teacher 45 (4): 257–263. doi:10.5951/MT.45.4.0257. JSTOR 27954012. 
4. 1 2 Grünbaum, Branko (1997). “Isogonal Prismatoids”. Discrete & Computational Geometry 18: 13–52. doi:10.1007/PL00009307. .
5. ↑ Alsina & Nelsen (2015), p. 87.

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Prismatoid”. mathworld.wolfram.com (英語).

表 話 編 歴 多面体
一様多面体	正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 半正多面体 切頂四面体 切頂六面体 切頂八面体 切頂十二面体 切頂二十面体 立方八面体 二十・十二面体 斜方立方八面体 斜方二十・十二面体 斜方切頂立方八面体 斜方切頂二十・十二面体 変形立方体 変形十二面体 星型正多面体 小星型十二面体 大十二面体 大星型十二面体 大二十面体 その他 八面半八面体 四面半六面体 小立方立方八面体 大立方立方八面体 立方半八面体 立方切頂立方八面体 一様大斜方立方八面体 小斜方六面体 星型切頂六面体 大切頂立方八面体 大斜方六面体 小二重三角二十・十二面体 小二十・二十・十二面体 小変形二十・二十・十二面体 小十二・二十・十二面体 十二・十二面体 切頂大十二面体 斜方十二・十二面体 小斜方十二面体 変形十二・十二面体 二重三角十二・十二面体 大二重三角十二・二十・十二面体 小二重三角十二・二十・十二面体 二十・十二・十二面体 二十面切頂十二・十二面体 変形二十・十二・十二面体 大二重三角二十・十二面体 大二十・二十・十二面体 小二十面半十二面体 小十二・二十面体 小十二面半十二面体 大二十・十二面体 切頂大二十面体 斜方二十面体 大変形二十・十二面体 小星型切頂十二面体 切頂十二・十二面体 逆変形十二・十二面体 大十二・二十・十二面体 小十二面半二十面体 大十二・二十面体 大変形十二・二十・十二面体 大十二面半二十面体 大星型切頂十二面体 一様大斜方二十・十二面体 大切頂二十・十二面体 大逆変形二十・十二面体 大十二面半十二面体 大二十面半十二面体 小反屈変形二十・二十・十二面体 大斜方十二面体 大反屈変形二十・十二面体 大二重斜方二十・十二面体
カタランの立体	三方四面体 三方八面体 四方六面体 三方二十面体 五方十二面体 菱形十二面体 菱形三十面体 凧形二十四面体 凧形六十面体 六方八面体 六方二十面体 五角二十四面体 五角六十面体
ジョンソンの立体	正四角錐 正五角錐 正三角台塔 正四角台塔 正五角台塔 正五角丸塔 正三角錐柱 正四角錐柱 正五角錐柱 正四角錐反柱 正五角錐反柱 双三角錐 双五角錐 双三角錐柱 双四角錐柱 双五角錐柱 双四角錐反柱 正三角台塔柱 正四角台塔柱 正五角台塔柱 正五角丸塔柱 正三角台塔反柱 正四角台塔反柱 正五角台塔反柱 正五角丸塔反柱 異相双三角柱 同相双三角台塔 同相双四角台塔 異相双四角台塔 同相双五角台塔 異相双五角台塔 同相五角台塔丸塔 異相五角台塔丸塔 同相双五角丸塔 同相双三角台塔柱 異相双三角台塔柱 異相双四角台塔柱 同相双五角台塔柱 異相双五角台塔柱 同相五角台塔丸塔柱 異相五角台塔丸塔柱 同相双五角丸塔柱 異相双五角丸塔柱 双三角台塔反柱 双四角台塔反柱 双五角台塔反柱 五角台塔丸塔反柱 双五角丸塔反柱 側錐三角柱 二側錐三角柱 三側錐三角柱 側錐五角柱 二側錐五角柱 側錐六角柱 双側錐六角柱 二側錐六角柱 三側錐六角柱 側錐十二面体 双側錐十二面体 二側錐十二面体 三側錐十二面体 二側錐欠損二十面体 三側錐欠損二十面体 側錐三側錐欠損二十面体 側台塔切頂四面体 側台塔切頂立方体 双側台塔切頂立方体 側台塔切頂十二面体 双側台塔切頂十二面体 二側台塔切頂十二面体 三側台塔切頂十二面体 側台塔回転斜方二十・十二面体 双側台塔回転斜方二十・十二面体 二側台塔回転斜方二十・十二面体 三側台塔回転斜方二十・十二面体 側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔欠損斜方二十・十二面体 二側台塔欠損斜方二十・十二面体 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体 三側台塔欠損斜方二十・十二面体 変形双五角錐 変形四角反柱 球形屋根 側錐球形屋根 長球形屋根 広底長球形屋根 五角錐球形屋根 双三日月双丸塔 三角広底球形屋根丸塔
ゾーン多面体	平行六面体 菱形十二面体第2種 菱形二十面体 菱形九十面体 長菱形十二面体
星型多面体	小三角六辺形二十面体 完全二十面体 星型八面体
ねじれ正多面体	四角六片四角孔ねじれ正多面体 六角四片四角孔ねじれ正多面体 六角六片三角孔ねじれ正多面体
面の数による分類	二面体 四面体 五面体 六面体 七面体 八面体 十面体 十二面体 十四面体 二十面体 二十四面体 三十面体 四十八面体 六十面体 百二十面体
その他	角錐 角柱 双角錐 反角柱 ねじれ双角錐 プリズマトイド 擬大斜方立方八面体 大二重変形二重斜方十二面体 切稜立方体 穿孔多面体 ダ・ヴィンチの星 正四面体リング 凸多面体 凹多面体 双対多面体 複合多面体 平面充填形