例

1. 1 を含む環 R に対して、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ を 1 を含まない R の素イデアルとする。R の元 a に対して
   ${\displaystyle v(a)={\begin{cases}0&(a\notin {\mathfrak {p}})\\\infty &(a\in {\mathfrak {p}})\end{cases}}}$
   と定めれば、R の加法付値となる。従って、1 を含む任意の環に対して、加法付値が一つ以上存在する。
2. 体 K に対して、上記の例を適用することにより
   ${\displaystyle v(a)={\begin{cases}0&(a\in K^{\times })\\\infty &(a=0)\end{cases}}}$
   は K の加法付値となる。これを K の自明な加法付値という。
3. 素数 p と 0 ではない有理数 a に対して、
   ${\displaystyle a={\frac {p^{e}b}{p^{f}c}}\quad (e\geq 0,\,f\geq 0,\,(b,c)=1,\,(bc,\ p)=1)}$
   と表したとき、
   ${\displaystyle v(a)={\begin{cases}e-f&(a\in K^{\times })\\\infty &(a=0)\end{cases}}}$
   で定義すると、v は有理数体の加法付値となる。これを p-進加法付値という。
4. より一般に、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ を代数体 K の素イデアルとする。K の 0 でない元 α は ${\displaystyle (\alpha )={\mathfrak {p}}^{\mu }{\mathfrak {b}}}$ （${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ は ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ と互いに素な分数イデアル、μ は有理整数）の形に一意的に表せるが、このとき
   ${\displaystyle v(a)={\begin{cases}\mu &(a\in K^{\times })\\\infty &(a=0)\end{cases}}}$
   と定めると、v は代数体 K の加法付値となる。これを ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-進加法付値 という。
5. 複素平面から複素平面への有理型関数の全体を K とする。複素平面上の点 P を一つ取り固定する。0 でない 有理型関数 f に対して、点 P で n-位の零点であるとき v(f) = n, 零点でも極でもないとき v(f) = 0, n-位の極であるとき v(f) = −n と定めると、v は K の加法付値となる。
6. 体 K の 1-変数有理関数体 K(x) の 0 でない元 f(x) に対して
   ${\displaystyle f(x)={g(x) \over h(x)}\quad (g(x),\,h(x)\in K[x])}$
   と表したとき、v(f) = deg h − deg g と定義すると、v は K(x) の加法付値となる。
7. α を無理数とし、体 K 係数の 0 でない多項式
   ${\displaystyle p(x,y)=\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}y^{m-j}\quad (a_{j}\in K,\ m\geq 0)}$
   に対して、v(p) = min{j + (m − j)α | a_j ≠ 0, 0 ≤ j ≤ m} とし、K 上の 2-変数有理関数体 K(x, y) の 0 でない元 f(x, y) に対して
   ${\displaystyle f(x,y)={g(x,y) \over h(x,y)}\quad (g(x,y),\ h(x,y)\in K[x,y])}$
   と表したとき、v(f) = v(g) − v(h) と定義すると、v は K(x, y) の加法付値となる。
8. 体 K の 0 でない n-変数多項式
   ${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{m_{n}}a_{j_{1}\ldots j_{n}}x_{1}^{j_{1}}\cdots x_{n}^{j_{n}}\quad (a_{j_{1}\ldots j_{n}}\in K,\ m_{1},\ldots ,m_{n}\geq 0)}$
   に対して、Zⁿ の辞書式順序に関して
   ${\displaystyle v(p)=\min\{(j_{1},\ldots ,j_{n})\mid a_{j_{1}\ldots j_{n}}\neq 0\}\in \mathbb {Z} ^{n}}$
   とするとき、K 上の n-変数有理関数体 K(x₁, ..., x_n) の 0 でない元
   ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {g(x_{1},\ldots ,x_{n})}{h(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\quad (g(x_{1},\ldots ,x_{n}),\,h(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}])}$
   に対し、v(f) = v(g) − v(h) と定義すると、v は K(x₁, ..., x_n) の加法付値となる。
9. 体K に対して、体 L を
   ${\displaystyle L=\bigcup _{n\geq 1}K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$
   とし、一つ上で挙げた加法付値を v_n としたとき、0 でない L の元 f に対して
   ${\displaystyle v(f)=(j_{1},\ldots ,j_{n},0,0,\ldots )\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\quad (f\in K(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ v_{n}(f)=(j_{1},\ldots ,j_{n}))}$
   と定めれば、v は L の加法付値となる。

性質

環 R 上の加法付値 v に対して、以下が成立する。

• R が体であるならば、v(x) = ∞ である必要十分条件は x = 0 である。
• 任意の R の元 x, y に対して、v(xy) = v(yx) である。
• 任意の R の元 a に対し、v(−a) = v(a) である。
• 逆元をもつ R の元 a に対し、v(a⁻¹) = −v(a) である。
• v(x) ≠ v(y) である R の元 x, y に対して、v(x + y) = min(v(x), v(y)) が成り立つ。
• x₁ + … + x_n = 0 である R の元 x₁, ..., x_n に対して、v(x_i) = v(x_j) を満たす i, j (i ≠ j) が存在する。

付値環

体 K の加法付値 v に対して、R_v = {a ∈ K | v(a) ≥ 0} は賦値 v に対する付値環と呼ばれる環を成す。このとき、${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}=\{a\in K\mid v(a)>0\}}$ は、R_v のイデアルであり、賦値 v に対する付値イデアルと呼ばれる。^[1] 付値イデアルは付値環に含まれる唯一の極大イデアルであるので、${\displaystyle R_{v}/{\mathfrak {m}}_{v}}$ は体となる。この体のことを v に関する剰余体または剰余類体という。さらに、{a ∈ K | v(a) = 0} は乗法群となり、これを賦値環の単数群という。

階数

加法付値 v の付値環の Krull-次元を v の階数という。 つまり、加法付値 v の付値環 R_v 上の素イデアル ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,\ {\mathfrak {p}}_{n}}$ が存在して

${\displaystyle R_{v}\supsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\supsetneq \cdots \supsetneq {\mathfrak {p}}_{n}\supsetneq (0)}$

が成立するような n の最大値を階数という。階数は必ずしも有限とは限らない。例えば、先に挙げた加法付値の例9. の階数は ∞ である。また、任意の正整数 n に対して、例8. の階数は n であり、自明な加法付値は 0 である。

自明ではない加法付値の階数は 1 以上であり、特に指数付値の階数は 1 である。より一般に、値群が実数の 0 ではない加法部分群と順序同型であるならば、階数は 1 であり、逆に階数が 1 である加法付値の値群は実数の加法部分群と順序同型である。

体 K の加法付値 v の階数は次の様に言い換えることができる。

• 階数とは、v の付値環を含む K と異なる K の部分環の個数である。
• 階数とは、v の値群を G とし、G の部分群 H で
  0 ≤ y ≤ x を満たす G の元 x, y に対し、x が H の元であれば、y も H の元である
  という条件を満たすもの^[2]の個数である。

離散付値

体 K の加法付値 v の値群 v(K^×) が、辞書式順序で Z^n[3]と順序同型であるとき離散的であるといい、この様な加法付値を離散的加法付値または離散的一般付値という。 特に、上記 n が 1 である離散的加法付値のことを離散付値という。^[4] さらに、値群が Z となる離散付値を正規離散付値または正規指数付値という。

例えば、先に挙げた加法付値の例の 2., 3., 4., 5., 6. は正規離散付値であり、n ≥ 2 に対して、例8. は離散付値ではない離散的加法付値である。例7. の様に離散付値にならない加法付値も存在する。

体 K の正規離散付値 v に対して、v(π) = 1 を満たす K の元 π を v の 素元という。すると、K^× の元 α は、素元と K の単元を用いて、α = επⁿ と一意的に表現される。たし、ε は K の単元であり、n は整数である。

離散付値 v に関して、以下のことが成り立つ。ただし、付値イデアルを ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ とする。

• 付値環はネーター環である。^[5]
• 任意の付値環のイデアル ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\neq 0}$ に対して、ある非負整数 n が存在して、${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {m}}^{n}}$ と表される。つまり、付値環は単項イデアル環である。

特に、v が正規離散付値であるならば、0 ではないイデアルは、n ≥ 0 に対して {x ∈ K | v(x) ≥ n} のかたちに表される。

• ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}=(0)}$ が成立する。
• 任意の付値環の元 a と 0 でない K の元 b に対して、ある正整数 n が存在して、nv(a) ≥ v(b) が成立する。

付値の合成

体 K の加法付値 v に対して、v の剰余体 ${\displaystyle R_{v}/{\mathfrak {m}}_{v}}$ の加法付値を v′ とする。このとき

${\displaystyle R''=\{a\in R_{v}\mid a\ {\bmod {\ }}{\mathfrak {m}}_{v}\in R_{v'}\}}$

は、K の付値環となる。そこで、K の加法付値 v′′ を R_v′′ = R′′ を満たす様に取ったとき、v′′ を v と v′ との合成という。(v′′ の階数) = (v の階数) + (v′ の階数) が成り立つ。

加法付値の合成を用いて、体 K の加法付値を w、K の拡大体を L とし、 L の加法付値 v を、剰余体が K と同型になるようにとれば、L の加法付値 v′ として

${\displaystyle v'(a)={\begin{cases}w(a)&(a\in K)\\v(a)&(a\in L\setminus K)\end{cases}}}$

が成り立つものを得ることができる。

乗法付値の例

1. 体 K に対して
   ${\displaystyle |a|_{0}={\begin{cases}1&(a\in K^{\times })\\0&(a=0)\end{cases}}}$
   と定めれば、乗法付値となる。これを自明な付値という。つまり、任意の体 K に対して、乗法付値はひとつ以上存在する。
2. 実数体または複素数体上の絶対値は乗法付値である。絶対値のことを他の乗法付値と区別するために |•|_∞ と書かれることもある。
3. 素数 p と 0 ではない有理数
   ${\displaystyle a={p^{e}b \over p^{f}c}\quad (e\geq 0,\ f\geq 0,\ (b,c)=1,\ (bc,\ p)=1)}$
   に対して、|a|_p = p^f−e で与えられる |•|_p: Q → R は、有理数体上の乗法付値となる。これを p-進付値という。これは上記の p-進加法付値を使って、|a|_p = p^{− v( a)} とあらわすことができる。
4. より一般に、上記の${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-進加法付値 v に対して、|a|_{${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$} = N${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ^{− v ( a )} で与えられる|•|_{${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$}: K → R は、代数体 K 上の乗法付値となる。ここで N${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ は素イデアル ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ のノルムである。これを ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-進付値という。

乗法付値の性質

体 K 上の乗法付値 |•| に対して、以下が成立する。

• |1| = 1 である。
• 任意の K の元 a に対し、|−a| = |a| である。
• 0 でない任意の K の元 a に対し、|a⁻¹| = |a|⁻¹ である。
• K の元 a を |a| ≤ 1 となる様にとれば、|1 + a| ≤ c である。^[7]
• 離散付値ではない乗法付値

アルキメデス付値

乗法付値の定義において、条件3 の定数 c は、常に c ≥ 1 であるが、c = 1 と選ぶことができるとき、非アルキメデス付値または非アルキメデス的付値という。非アルキメデス付値でない乗法付値のことをアルキメデス付値またはアルキメデス的付値という。

自明な付値や、任意の素数 p に対する有理数体上の p-進付値は非アルキメデス付値である。 また、実数体または複素数体上の絶対値はアルキメデス付値である。

任意の非アルキメデス付値 |•| は、任意の正整数 n に対して、|n 1| ≤ 1 を満たす。逆に、任意の正整数 n に対して、|n 1| ≤ c となる n に無関係な定数 c が存在する乗法付値は非アルキメデス付値である。

このことから、アルキメデス付値を持つ体の標数は 0 である。従って、有限体の乗法付値は全て非アルキメデス付値である。より正確には、有限体の乗法付値は自明な付値だけである。

しかし、標数が 0 であっても、アルキメデス付値を持たない場合がある。体の（集合論的）濃度が連続体濃度よりも真に大きい体は、アルキメデス付値を持たない。このことは次の定理からの帰結である。

オストロフスキーの定理

必ずしも可換とは限らない体 K がアルキメデス付値 |•| を持つとする。このとき、K から複素数体（K が可換体であるとき）または四元数体（K が斜体のとき）の中への同型写像 φ と正数 ρ が存在して、

${\displaystyle |\alpha |=|\varphi (\alpha )|_{\infty }^{\rho }\quad (\alpha \in K)}$

が成立する。ここで |•|_∞ は複素数体または四元数体の絶対値である。従って、四元数体の部分体と同型な体はアルキメデス付値を持つ。

非アルキメデス付値と指数付値

q > 1 を１つ取り固定する。|•| を体 K の非アルキメデス付値としたとき v: K → R ∪ {∞} を

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}-\log _{q}|x|&(x\neq 0)\\\infty &(x=0)\end{cases}}}$

で定めると、v は K の指数付値となる。

逆に、K の指数付値 v に対して |•|_v: K → R を

${\displaystyle |x|_{v}={\begin{cases}q^{-v(x)}&(x\neq 0)\\0&(x=0)\end{cases}}}$

で定めると、|•|_v は K の非アルキメデス付値となる。

従って q を固定するとき、非アルキメデス付値と指数付値の間には一対一の対応を付けることができる。しかし、アルキメデス付値に対しては、上の様に v を定義しても加法付値にはならない。

さらに、上で定義された非アルキメデス付値 |•| に対する加法付値 v に対して、v の付値環、付値イデアルを R_v, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}}$ とし、

${\displaystyle R_{|\bullet |}=\{\alpha \in K\mid |\alpha |\leq 1\},\quad {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}=\{\alpha \in K\mid |\alpha |<1\}}$

とおくと、R_v = R_|•|, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}={\mathfrak {m}}_{|\bullet |}}$ が成り立ち、R_|•|, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}}$ はそれぞれ K の部分環、R_|•| のイデアルになる。このとき、R_|•|, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{|\bullet |},\,R_{|\bullet |}/{\mathfrak {m}}_{|\bullet |}}$ を非アルキメデス付値 |•| に対する付値環、付値イデアル、剰余体という。

この様に得られた付値環、付値イデアルに対しても、先に挙げた加法付値に対する付値環、付値イデアルと同じ性質が成り立つ。

また、v が離散付値であるとき、|•| を離散付値という。このとき、うまく q を選べば v は正規離散付値となるので、v(π) = 1 となる K の元 π が存在する。この π のことを |•| に関する素元という。

なお、アルキメデス付値に対しては、非アルキメデス付値と同様にして R_|•|, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}}$ を定義することができるが、R_|•| は K の部分環にはならず、${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}}$ もイデアルにはならない。^[8]

しかし、{x ∈ K | |x| = 1} はアルキメデス付値、非アルキメデス付値に関わらず乗法群となる。これを乗法付値 |•| に対する単数群という。