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八十四角形

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八十四角形（はちじゅうよんかくけい、はちじゅうよんかっけい、octacontatetragon）は、多角形の一つで、84本の辺と84個の頂点を持つ図形である。内角の和は14760°、対角線の本数は3402本である。

正八十四角形

正八十四角形においては、中心角と外角は4.285…°で、内角は175.714…°となる。一辺の長さが a の正八十四角形の面積 S は

S={\frac {84}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{84}}\simeq 561.23682a^{2}

関係式: ${\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{84}}+2\cos {\frac {74\pi }{84}}+2\cos {\frac {50\pi }{84}}={\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {7}}}{2}}=x_{1}\\2\cos {\frac {38\pi }{84}}+2\cos {\frac {62\pi }{84}}+2\cos {\frac {58\pi }{84}}={\frac {-{\sqrt {3}}-{\sqrt {7}}}{2}}=x_{2}\\2\cos {\frac {34\pi }{84}}+2\cos {\frac {82\pi }{84}}+2\cos {\frac {10\pi }{84}}={\frac {-{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}{2}}=x_{3}\\2\cos {\frac {26\pi }{84}}+2\cos {\frac {46\pi }{84}}+2\cos {\frac {22\pi }{84}}={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}{2}}=x_{4}\\\end{aligned}}$

さらに、以下のような関係式が得られる。

{\begin{aligned}\left(2\cos {\frac {2\pi }{84}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {74\pi }{84}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {50\pi }{84}}\right)^{3}=&3x_{1}+2\cos {\frac {2\pi }{28}}+2\cos {\frac {6\pi }{28}}+2\cos {\frac {18\pi }{28}}+6(x_{4})+3\omega \left(2x_{1}+6\cos {\frac {10\pi }{12}}+2\cos {\frac {10\pi }{28}}+2\cos {\frac {26\pi }{28}}+2\cos {\frac {22\pi }{28}}\right)+3\omega ^{2}\left(2x_{1}+x_{4}+2\cos {\frac {2\pi }{28}}+2\cos {\frac {6\pi }{28}}+2\cos {\frac {18\pi }{28}}\right)\\=&{\frac {11{\sqrt {3}}+9{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}}(7{\sqrt {3}}+5{\sqrt {7}})i}{4}}\\\left(2\cos {\frac {2\pi }{84}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {74\pi }{84}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {50\pi }{84}}\right)^{3}=&3x_{1}+2\cos {\frac {2\pi }{28}}+2\cos {\frac {6\pi }{28}}+2\cos {\frac {18\pi }{28}}+6(x_{4})+3\omega ^{2}\left(2x_{1}+6\cos {\frac {10\pi }{12}}+2\cos {\frac {10\pi }{28}}+2\cos {\frac {26\pi }{28}}+2\cos {\frac {22\pi }{28}}\right)+3\omega \left(2x_{1}+x_{4}+2\cos {\frac {2\pi }{28}}+2\cos {\frac {6\pi }{28}}+2\cos {\frac {18\pi }{28}}\right)\\=&{\frac {11{\sqrt {3}}+9{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}}(7{\sqrt {3}}+5{\sqrt {7}})i}{4}}\\\end{aligned}}

両辺の立方根を取ると

{\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{84}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {74\pi }{84}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {50\pi }{84}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {11{\sqrt {3}}+9{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}}(7{\sqrt {3}}+5{\sqrt {7}})i}{4}}}\\2\cos {\frac {2\pi }{84}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {74\pi }{84}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {50\pi }{84}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {11{\sqrt {3}}+9{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}}(7{\sqrt {3}}+5{\sqrt {7}})i}{4}}}\\\end{aligned}}

よって

{\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{84}}=&{\frac {1}{6}}\left({\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {7}}}{2}}+{\sqrt[{3}]{\frac {11{\sqrt {3}}+9{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}}(7{\sqrt {3}}+5{\sqrt {7}})i}{4}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {11{\sqrt {3}}+9{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}}(7{\sqrt {3}}+5{\sqrt {7}})i}{4}}}\right)\\\end{aligned}}

正八十四角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正八十四角形は折紙により作図可能である。

ポータル数学

多角形

非古典的 (2辺以下)

辺の数: 3–10

三角形	正三角形二等辺三角形黄金三角形不等辺三角形直角三角形直角二等辺三角形ケプラー三角形鋭角三角形鈍角三角形

四角形	正方形長方形黄金長方形菱形平行四辺形凧形直角凧形台形等脚台形直角台形円に外接する台形双心四角形円に内接する四角形円に外接する四角形等対角線四角形（英語版）直交対角線四角形傍心四辺形（英語版）凹四角形

五角形	正五角形五等辺五角形（英語版）円に内接する五角形ロビンスの五角形（英語版）円に外接する五角形直角五角形五等角五角形凹五角形

六角形	正六角形円に内接する六角形円に外接する六角形ルモワーヌ六角形

辺の数: 11–20

辺の数: 21–30

辺の数: 31–40

辺の数: 41–50

辺の数: 51–70
（抜粋）

辺の数: 71–100
（抜粋）

辺の数: 101–
（抜粋）

星型多角形
（辺の数: 5–12）

多角形のクラス