内部エネルギー

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熱力学
古典的カルノー熱機関（英語版）
分野 熱力学 統計力学 熱化学 平衡熱力学 / 非平衡熱力学
熱力学の法則 第零法則 第一法則 第二法則 第三法則
系 状態（英語版） 状態方程式 理想気体 実在気体 物質の状態 平衡 検査体積 過程（英語版） 定圧過程 定積過程 等温過程 断熱過程 等エントロピー過程 等エンタルピー過程（英語版） 準静的過程 ポリトロープ過程（英語版） 可逆性 不可逆性 内部可逆性（英語版） サイクル 熱機関 熱ポンプ（英語版） 熱効率
系の特性 注: 斜体は共役変数（英語版）を示す。 特性線図（英語版） 示量性と示強性 状態の関数 温度 / エントロピー 圧力 / 体積（英語版） 化学ポテンシャル / 粒子数（英語版） 蒸気乾き度（英語版） 対臨界特性（英語版） 過程関数（英語版） 仕事 熱
材料特性（英語版） 比熱容量  ${\displaystyle c=}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \partial T}$ 圧縮率  ${\displaystyle \beta =-}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial p}$ 熱膨張  ${\displaystyle \alpha =}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial T}$
方程式（英語版） カルノーの定理 クラウジウスの定理 基本関係式（英語版） 理想気体の状態方程式 マクスウェルの関係式 オンサーガーの相反定理 ブリッジマンの方程式（英語版）
熱力学ポテンシャル 自由エネルギー 自由エントロピー（英語版） 内部エネルギー ${\displaystyle U(S,V)}$ エンタルピー ${\displaystyle H(S,p)=U+pV}$ ヘルムホルツの自由エネルギー ${\displaystyle A(T,V)=U-TS}$ ギブズの自由エネルギー ${\displaystyle G(T,p)=H-TS}$
歴史 文化 歴史 一般（英語版） 熱（英語版） エントロピー（英語版） 気体の法則 永久機関（英語版） 哲学（英語版） エントロピーと時間（英語版） エントロピーと生命（英語版） ブラウン・ラチェット マクスウェルの悪魔 熱力学的死のパラドックス（英語版） ロシュミットのパラドックス シナジェティクス（英語版） 理論 カロリック説 熱の理論（英語版） Vis viva（英語版） 熱の仕事当量 動力 重要文献 摩擦により発生する熱の源に関する実験的探求（英語版） 不均一な物質系の平衡に就いて 熱の動力についての考察（英語版） 年表 熱力学 熱機関（英語版） 芸術 教育 マクスウェルの熱力学的表面（英語版） エネルギー拡散としてのエントロピー（英語版）
科学者 ベルヌーイ ボルツマン カルノー クラペイロン クラウジウス カラテオドリ デュエム ギブズ フォン・ヘルムホルツ ジュール マクスウェル フォン・マイヤー オンサーガー ランキン スミートン シュタール トンプソン トムソン ファン・デル・ワールス ウォーターストン
表 話 編 歴

統計力学
熱力学 · 気体分子運動論
粒子統計 マクスウェル＝ボルツマン ボース＝アインシュタイン フェルミ＝ディラック パラ · エニオン · 組み紐（英語版） アンサンブル ミクロカノニカルアンサンブル カノニカルアンサンブル グランドカノニカルアンサンブル 等温定圧アンサンブル 等エンタルピー-定圧 熱力学 気体の法則（英語版） · カルノーサイクル デュロン＝プティの法則 模型 デバイ · アインシュタイン · イジング 熱力学ポテンシャル 内部エネルギー エンタルピー ヘルムホルツの自由エネルギー ギブズの自由エネルギー グランドポテンシャル 科学者 マクスウェル · ギブズ · ボルツマン · アインシュタイン · オンサーガー · ウィルソン · 久保亮五 · カダノフ · フィッシャー · 川崎恭治 · パリージ · エドワーズ · ローレンツ · 蔵本由紀 · ジャルジンスキー
表 話 編 歴

内部エネルギー（ないぶエネルギー、英語: internal energy^[1]）は、系の熱力学的な状態を表現する、エネルギーの次元をもつ示量性状態量の一つである。系が全体として持っている力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギー）に対する用語として、内部エネルギーと呼ばれる。記号は U や E で表されることが多い。

名称はウィリアム・トムソンとルドルフ・クラウジウスによる^[2]。

定義

系がある平衡状態から何らかの過程を経て再び平衡状態へと達したとき、始状態と終状態での内部エネルギーの変化量は、系の内外のエネルギーの収支、つまり、外部から系に流入した熱的、物質的なエネルギーと系が外部にした仕事の差となる。 始状態を X₀、終状態を X₁ として、過程 X₀→X₁ の間に系に流入した熱的なエネルギーを Q、物質的なエネルギーを Z、系が外部にした仕事を W とすると

${\displaystyle U(\mathrm {X} _{1})-U(\mathrm {X} _{0})}$${\displaystyle =Q(\mathrm {X} _{0}\to \mathrm {X} _{1})}$${\displaystyle +Z(\mathrm {X} _{0}\to \mathrm {X} _{1})}$${\displaystyle -W(\mathrm {X} _{0}\to \mathrm {X} _{1})}$

である。 熱的、物質的なエネルギーと仕事は具体的な過程に依存するが、内部エネルギーは系の状態だけで決まる。

この式を内部エネルギーの定義としている場合もあるが、熱を明確に定義することは困難である。しかし、仕事は力学的操作等によって決定できるので、閉鎖系における断熱過程、即ち Q=0 かつ Z=0 に於ける仕事によって内部エネルギーを定義するという方法がある（断熱という概念は熱を明確に定義しなくとも、力学的操作等を除いては外界の影響を受けない断熱壁という存在を経験的に知っている）^[3]。

完全な熱力学関数

内部エネルギーは、エントロピー S、体積 V、物質量 N_i （添字 i は成分を表す）を変数にもつ関数 U(S,V,N) の形で表されたとき完全な熱力学関数となる。よってそこからすべての熱力学的性質がわかる。 またルジャンドル変換により、エンタルピー H、ヘルムホルツエネルギー F、ギブスエネルギー G およびグランドポテンシャル J などと結びついており、これらも適当な変数を選んだときには完全な熱力学関数となる。

内部エネルギー U(S,V,N) の偏微分は

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,N}=T(S,V,N),\\\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S,N}=-p(S,V,N),\\\left({\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right)_{S,V,N_{j}}=\mu _{i}(S,V,N)\end{aligned}}}$

である。 ここで T は熱力学温度、p は圧力、μ_i は成分 i の化学ポテンシャルである。 従って、全微分は

${\displaystyle dU=T(S,V,N)\,dS-p(S,V,N)\,dV+\sum _{i}\mu _{i}(S,V,N)\,dN_{i}}$

となる。

系のスケール変換 (U,S,V,N) → (λU,λS,λV,λN) を考えたときに

となり、これを λ で微分すれば

となり、λ=1 とすれば

の関係が得られる。

温度による表示

内部エネルギーの自然な変数はエントロピーや体積などの示量性変数であるが、温度は測定が容易なためエントロピーに変えて温度を変数として表すことも多い。系の平衡状態が温度 T と体積 V によって指定される場合を考える。

内部エネルギー U(T,V) の温度 T による偏微分は

で与えられる。ここで C_V 定積熱容量である。

内部エネルギー U(T,V) の体積 V による微分は熱力学的状態方程式

で与えられる。これは圧力を温度と体積の関数として表した状態方程式

から計算することが出来る。

これらの式を積分すると

としてT-V表示における内部エネルギーが計算できる。

脚注

参考文献

• 文部省、日本物理学会編『学術用語集 物理学編』培風館、1990年。ISBN 4-563-02195-4。 
• 田崎晴明『熱力学 現代的な視点から』培風館〈新物理学シリーズ〉、2000年。ISBN 4-563-02432-5。 

関連項目

• エネルギー保存の法則
• 熱エネルギー
• 熱力学ポテンシャル
• エントロピー

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