半角正接置換 （はんかくせいせつちかん、英 : Tangent half-angle substitution ）とは数学において、主に積分 計算で利用される正接 tan による変数変換である。ワイエルシュトラス置換 とも呼ばれる。三角関数 のみで構成された積分に対してこの置換を施すことにより、有理関数 へと変形することができる。すなわち、
t
=
tan
θ
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}}
なる置換をすることにより、
∫
f
(
sin
θ
,
cos
θ
)
d
θ
=
∫
f
(
2
t
1
+
t
2
,
1
−
t
2
1
+
t
2
)
2
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle \int f(\sin \theta ,\,\cos \theta )\,{\rm {d}}\theta =\int f{\biggl (}{\frac {2t}{1+t^{2}}},\,{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}{\biggr )}\,{\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t}
と変形されるのである。また、正弦 sin や余弦 cos が自乗されている場合や、一次の正弦、余弦どうしの積などが含まれる場合は t = tan θ t
冒頭でも説明したとおり、半角正接置換を施すことにより、
sin
θ
=
2
t
1
+
t
2
,
cos
θ
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
d
θ
=
2
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad {\rm {d}}\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t}
のように変形することができる。
三角関数の加法定理 と相互法則 から、
sin
θ
=
2
sin
(
θ
/
2
)
cos
(
θ
/
2
)
sin
2
(
θ
/
2
)
+
cos
2
(
θ
/
2
)
=
2
tan
(
θ
/
2
)
tan
2
(
θ
/
2
)
+
1
=
2
t
1
+
t
2
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {2\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)}{\sin ^{2}(\theta /2)+\cos ^{2}(\theta /2)}}={\frac {2\tan(\theta /2)}{\tan ^{2}(\theta /2)+1}}={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
cos
θ
=
cos
2
(
θ
/
2
)
−
sin
2
(
θ
/
2
)
sin
2
(
θ
/
2
)
+
cos
2
(
θ
/
2
)
=
1
−
tan
2
(
θ
/
2
)
tan
2
(
θ
/
2
)
+
1
=
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\cos ^{2}(\theta /2)-\sin ^{2}(\theta /2)}{\sin ^{2}(\theta /2)+\cos ^{2}(\theta /2)}}={\frac {1-\tan ^{2}(\theta /2)}{\tan ^{2}(\theta /2)+1}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
また t θ 微分 して、
d
t
d
θ
=
1
2
cos
2
(
θ
/
2
)
=
1
+
tan
2
(
θ
/
2
)
2
=
1
+
t
2
2
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\theta }}={\frac {1}{2\cos ^{2}(\theta /2)}}={\frac {1+\tan ^{2}(\theta /2)}{2}}={\frac {1+t^{2}}{2}}}
より、
d
θ
=
2
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle {\rm {d}}\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t}
半角正接置換の幾何的解釈。 半角正接置換は、幾何的に解釈することも可能である。たとえば、右図のように単位円 x 2 + y 2 = 1(− 1, 0) を通過する傾き t (− 1, 0) でない方を (cos θ θ とおく。するとこのとき t = tan θ
{
x
2
+
y
2
=
1
y
−
0
=
t
(
x
+
1
)
w
h
e
r
e
x
≠
−
1
{\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\y-0=t\,(x+1)\end{cases}}\qquad {\rm {where}}\quad x\neq -1}
が成り立つ。これを x y
x
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
y
=
2
t
1
+
t
2
{\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
すなわち、
cos
θ
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
sin
θ
=
2
t
1
+
t
2
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
が導かれる。
次の積分：
I
=
∫
csc
x
d
x
=
∫
d
x
sin
x
{\displaystyle I=\int \csc x\,{\rm {d}}x=\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sin x}}}
を解くことを考える。置換 t = tan x /2
I
=
∫
csc
x
d
x
=
∫
d
x
sin
x
=
∫
1
+
t
2
2
t
2
1
+
t
2
d
t
t
=
tan
x
2
=
log
|
t
|
+
C
=
log
|
tan
x
2
|
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int \csc x\,{\rm {d}}x=\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sin x}}\\[3pt]&=\int {\frac {1+t^{2}}{2t}}{\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t&t=\tan {\dfrac {x}{2}}\\[3pt]&=\log |t|+C\\[3pt]&=\log {\biggl |}\!\tan {\frac {x}{2}}{\biggr |}+C\end{aligned}}}
のように求まる。ただし、ここで C 積分定数 である。また、この積分は t = tan x /2u = csc x − cot x
I
=
∫
csc
x
d
x
=
∫
csc
x
(
csc
x
−
cot
x
)
csc
x
−
cot
x
d
x
=
∫
csc
2
x
−
cos
x
csc
x
−
cot
x
d
x
=
∫
d
u
u
u
=
csc
x
−
cot
x
=
log
|
u
|
+
C
=
log
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
=
log
|
tan
x
2
|
+
C
csc
x
−
cot
x
=
tan
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int \csc x\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {\csc x\,(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {\csc ^{2}x-\cos x}{\csc x-\cot x}}\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {{\rm {d}}u}{u}}&u=\csc x-\cot x\\[3pt]&=\log |u|+C\\[3pt]&=\log |\!\csc x-\cot x|+C\\[3pt]&=\log {\biggl |}\!\tan {\dfrac {x}{2}}{\biggr |}+C&\csc x-\cot x=\tan {\dfrac {x}{2}}\end{aligned}}}
のように求まる。
三角関数と同じように、双曲線関数 でも半角置換が存在する。すなわち、
t
=
tanh
θ
2
{\displaystyle t=\tanh {\frac {\theta }{2}}}
の置換によって、
sinh
θ
=
2
t
1
−
t
2
,
cosh
θ
=
1
+
t
2
1
−
t
2
,
tanh
θ
=
2
t
1
+
t
2
,
coth
θ
=
1
+
t
2
2
t
,
sech
θ
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
csch
θ
=
1
−
t
2
2
t
,
and
d
θ
=
2
1
−
t
2
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},\quad \cosh \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\quad \tanh \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[3pt]&\coth \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\quad \operatorname {sech} \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \operatorname {csch} \theta ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[3pt]&{\text{and}}\quad {\rm {d}}\theta ={\frac {2}{1-t^{2}}}\,{\rm {d}}t.\end{aligned}}}
が導かれる。これにより、グーデルマン関数 およびその逆関数 の具体的な数式の導出についても応用できることが分かる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int \csc x\,{\rm {d}}x=\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sin x}}\\[3pt]&=\int {\frac {1+t^{2}}{2t}}{\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t&t=\tan {\dfrac {x}{2}}\\[3pt]&=\log |t|+C\\[3pt]&=\log {\biggl |}\!\tan {\frac {x}{2}}{\biggr |}+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cfba8f99ca3b263f12dc571d4ee23ecb4ca9b9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int \csc x\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {\csc x\,(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {\csc ^{2}x-\cos x}{\csc x-\cot x}}\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {{\rm {d}}u}{u}}&u=\csc x-\cot x\\[3pt]&=\log |u|+C\\[3pt]&=\log |\!\csc x-\cot x|+C\\[3pt]&=\log {\biggl |}\!\tan {\dfrac {x}{2}}{\biggr |}+C&\csc x-\cot x=\tan {\dfrac {x}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7456f911e193900288f23b05579df4567f8e20)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},\quad \cosh \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\quad \tanh \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[3pt]&\coth \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\quad \operatorname {sech} \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \operatorname {csch} \theta ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[3pt]&{\text{and}}\quad {\rm {d}}\theta ={\frac {2}{1-t^{2}}}\,{\rm {d}}t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fe324149e4e60611a53e27c80f161ee2b13b56)
