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擬絶対値

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数学における擬絶対値（ぎぜったいち、英: pseudo-absolute value, 独: Pseudobetrag）は、絶対値よりも条件の緩い類似の概念である。

定義

$R$ を単位的環とする。非負実数値函数 $| • | : R \to R +$ が擬絶対値であるとは、以下の三条件をすべて満たすときにいう: $a, b \in R$ を任意として

条件 3 の代わりにより強く

3a. 乗法性:

|a\cdot b|=|a|\cdot |b|

を満たすものは絶対値と言う。

擬絶対値 $| • |$ が非アルキメデス的とは

|a+b|\leq \max(|a|,|b|)

を満たすときに言う。

擬絶対値は各元 $a \in R$ に対して必ず $| - a | = | a |$ を満たす。また、各元 $a, b \in R$ に対して三角不等式 $| a + b | \leq | a | + | b |$ を満たす。
擬絶対値に関して必ず $| 1 | \geq 1$ が成り立ち、特に絶対値に関して $| 1 | = 1$ が成り立つ。
絶対値を持つ任意の単位的環は整域でなければならない（乗法性により、実数の零積性質（英語版）がその環に遺伝する）。

以下 $(R, | • |)$ は擬絶対値持つ単位的環とする。

多項式環 $R [X]$ または多変数の $R [X 1, \dots, X n]$ はそれ自体（多項式の積に関して）単位的環を成す。ここでたとえば、1-擬ノルム（ドイツ語版）は多項式環上の擬絶対値を与える。

同様に行列環 $R n \times n$ も（行列の積に関して）単位的環を成し、ここでも $1 \leq p \leq 2$ なる各実数 $p$ に対する $p$ -擬ノルムが行列環上の擬絶対値を与える。