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重心

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この項目では、物理用語について説明しています。

クラウゼヴィッツが提唱した戦場における力と運動の中心を指す概念については「重心 (軍事)」をご覧ください。
重症心身障害を有する子供については「重症心身障害児」をご覧ください。
人間の体の重心については「尻軽#体の重心」をご覧ください。
数学については「幾何中心」をご覧ください。
天体力学については「共通重心」をご覧ください

重心（じゅうしん、（英: center of gravity）は、力学において、空間的広がりをもって質量が分布するような系において、その質量に対して他の物体から働く万有引力（重力）の合力の作用点であると定義される点のことである^[1]。

なお、質量中心（しつりょうちゅうしん、center of mass）としばしば混同されるが、重力が一様でない場合には一致しない場合があるため、厳密には異なるものである。当記事では、特に断りのない限り、重心と質量中心を同じものとして説明する。

一様重力下で、質量分布が一様である（または図形の頂点に等質量が凝集している）とき、重心は幾何学的な意味での「重心」（幾何学的中心）と一致する（より一般の状況における重心は非一様場における重心（英語版）の項を参照）。

概要

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出典検索^?: "重心" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2011年7月)

図形の「質量中心」は、そのまわりでの一次モーメントが 0 であるような点である。数式を用いて書けば、図形 D に対して、点 g が D の重心であるとは、次が成り立つことである。

\int _{D}({\boldsymbol {g}}-{\boldsymbol {r}})\,dV={\boldsymbol {0}}.

また、図形 D （およびその周辺）の各点 r が密度 f(r) を持つなら、その重心 g とは、

\int _{D}({\boldsymbol {g}}-{\boldsymbol {r}})f({\boldsymbol {r}})\,dV={\boldsymbol {0}}

を満たす点 g である（もちろん g が D 外の点であることもあり得る）。

密度が一定の場合は幾何中心に一致する。これは単体に限って言うなら、全頂点の各座標の値の算術平均をその座標の値として持つ点である。例として、三角形のそれぞれの頂点と対辺の中点を結ぶ線分（中線）の交点は、その三角形の重心と一致する。

この点の簡単な見つけ方としては、重力下において、物体の端点で吊り下げた場合には、吊り下げ軸線上に重心が通ることを利用する、といったものがある。

以上のような「質量中心」は、「その質量に対して他の物体から働く万有引力（重力）の合力の作用点」すなわち「重心」と、重力が完全に一様な場合に限り一致する。例えば、地球など天体の重力は完全には一様ではないので、人工衛星の安定について議論する場合は、質量中心に対して働く（ように見える^{[注 1]}）遠心力と、質量中心よりもごくわずかに地球寄りにある重心に対して働く重力によって、極く僅かだが作用点が違うことによって発生するトルクが考慮される。

運動

重心は系の各部分の位置と質量から算出される点であり、各部分の位置は運動により変化しうる。よって重心の位置は時間変化しうる、言い換えれば、重心は運動しうる。

位置と速度

系を質点系とみなし、時刻を $t$ 、系を構成する質点 $i$ の質量、位置、速度を $m_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{i}(t),\,{\boldsymbol {v}}_{i}(t)$ 、系の全質量を $\textstyle M=\sum _{i}m_{i}$ とする。重心の定義より重心の位置 ${\boldsymbol {R}}(t)$ は次で与えられ、質量不変と位置の時間微分より速度 ${\boldsymbol {V}}(t)$ は次で求まる：

{\boldsymbol {R}}(t)=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{M}}{\boldsymbol {r}}_{i}(t)

{\boldsymbol {V}}(t)={\frac {d{\boldsymbol {R}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{M}}{\boldsymbol {v}}_{i}(t)

この式より、重心の位置と速度はそれぞれ、各部分の位置・速度を質量（密度）で加重平均したものだとわかる。

力

重心の速度が各部分の速度の加重平均で求まるため、各部分の力に注目することで重心の運動と力の関係がわかる。

$i$ に作用する合力を ${\boldsymbol {F}}_{i}(t)$ 、 $i$ に作用する外力の合力を ${\boldsymbol {F}}_{ei}(t)$ 、 $j\ (j\neq i)$ から $i$ への内力を ${\boldsymbol {F}}_{ji}(t)$ 、系に作用する外力の総和を ${\boldsymbol {F}}(t)$ とする。速度を時間微分し、各部分にニュートンの運動方程式を適用し、力を分解して、作用反作用の法則を適用すると^[2]、

{\frac {d{\boldsymbol {V}}}{dt}}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}{\frac {d{\boldsymbol {v}}_{i}}{dt}}={\frac {1}{M}}\sum _{i}{\boldsymbol {F}}_{i}={\frac {1}{M}}{\begin{array}{lcl}(\ \,{\boldsymbol {F}}_{e1}+{\boldsymbol {F}}_{21}+{\boldsymbol {F}}_{31}+\ldots \\+{\boldsymbol {F}}_{12}+{\boldsymbol {F}}_{e2}+{\boldsymbol {F}}_{32}+\ldots \\+{\boldsymbol {F}}_{13}+{\boldsymbol {F}}_{23}+{\boldsymbol {F}}_{e3}+\ldots \\+\ldots )\end{array}}={\frac {1}{M}}\sum _{i}{\boldsymbol {F}}_{ei}={\frac {{\boldsymbol {F}}(t)}{M}}

が成り立つ。つまり、系に作用する外力が重心の速度変化を生み、内力は打ち消し合って重心の運動に影響しない^[2]。

質点による置き換え

重心は計算で求まる仮想的な点であって、質点ではない（質量概念が無い）。しかし質点で置き換えると理解に有用である。

$i$ の運動量を ${\boldsymbol {p}}_{i}(t)$ 、系の全運動量を ${\boldsymbol {P}}(t)$ とする。重心速度の式（⇒ 位置と速度）は次のように変形できる：

{\boldsymbol {V}}=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{M}}{\boldsymbol {v}}_{i}\ \Leftrightarrow \ M{\boldsymbol {V}}=\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}\ \Leftrightarrow \ M{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {P}}

つまり全質量と重心速度の積が全運動量に等しい（参考: $m_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}={\boldsymbol {p}}_{i}$ ）。この式を用いて力の式（⇒ 力）は次のように変形できる：

{\frac {d{\boldsymbol {V}}}{dt}}={\frac {\boldsymbol {F}}{M}}\ \Leftrightarrow \ M{\frac {d{\boldsymbol {V}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}\ \Leftrightarrow \ {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}

つまり全運動量の時間微分が系に作用する外力の総和に等しい（参考: $d{\boldsymbol {p}}_{i}/dt={\boldsymbol {F}}_{i}$ ）。

これら変形からわかるように、通常の質点で成立する法則に似た形の関係が重心に関して成立している。ここで質量 $M$ の単一質点が位置 ${\boldsymbol {R}}(t)$ で力 ${\boldsymbol {F}}(t)$ を受けているとすると、その運動量は $\textstyle M{\frac {d{\boldsymbol {R}}}{dt}}=M{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {P}}$ であり、ニュートンの運動方程式 $\textstyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}$ に従う^[3]^[4]。つまりこの質点は重心と完全に同じ振る舞いをする^[3]。言い換えれば、重心の位置に全質量と全外力が一点集中したとみなした質点によって、重心の運動は完全に記述できる^[3]。

運動エネルギー

質点による置き換えを通じて、重心には運動エネルギーを定義できる^[5]。

質点による置き換えで重心の質量は $M$ とみなせるため^[3]、重心の運動エネルギー $K_{g}(t)$ は次で与えられる^[5]：

K_{g}(t):={\frac {1}{2}}M\left|{\boldsymbol {V}}\right|^{2}={\frac {\left|{\boldsymbol {P}}\right|^{2}}{2M}}

重心の位置 ${\boldsymbol {R}}$ 、運動エネルギー $K_{g}$ 、作用する合力 ${\boldsymbol {F}}$ が定義されたので、重心に ${\boldsymbol {F}}$ がなす仕事 $\textstyle W=\int {\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {R}}$ も定義できる。仕事と運動エネルギーの定理より $W=\Delta K_{g}$ であり^[6]、これは $K_{g}$ 変化が $\left|{\boldsymbol {P}}\right|$ 変化で決定し（∵ 定義式）かつ運動量保存則より $\left|{\boldsymbol {P}}\right|$ 変化が全外力 ${\boldsymbol {F}}$ のみに依って内力に依らないことと整合的である。すなわち、重心の運動エネルギーとは系への外力が重心になした仕事の積算であり、系の内力からは独立している。

$K_{g}(t)$ は系の全運動エネルギー $K(t)$ の一部である。逆に言えば、重心の運動量 ${\boldsymbol {P}}$ が系の全運動量と常に等しいのと異なり、多くの場合で $K_{g}\neq K$ である。 $K_{g}(t)$ に各質点の重心に対する相対運動エネルギーの総和 $K'(t)$ を足すと $K(t)$ になる（参考: 運動エネルギー#重心運動と相対運動の和）^[5]。

そのため、系への外力ゼロで $K_{g}$ 不変であっても、内力により $K'$ が変化し $K$ は変わりうる。系内部の質点衝突はその一例である。衝突では運動量が保存されるため^[7]、 $K_{g}$ も保存される。一方 $K$ は必ずしも保存されないことがよく知られる（非弾性衝突）^[7]。重心の運動エネルギーを導入することで、反発係数が $K_{g}$ とは無関係で $K'$ の変化を司るパラメータだとわかる。また完全非弾性衝突では衝突直後に各質点が相対的に静止して $K=K_{g}+0$ になると理解でき、 $K_{g}$ が衝突直後の $K$ の下限値だともわかる。他の例には、内力としての万有引力による連星系の運動が挙げられる（図参照）。なお、外力 ${\boldsymbol {F}}$ は $K_{g}$ のみならず $K'$ も変化させうる（＝一般に $K'$ 変化を内力のみでは決定できない）。

角運動量

質点による置き換えを通じて、重心には角運動量を定義できる。質点による置き換えで重心の運動量は ${\boldsymbol {P}}$ とみなせるため^[4]、重心の基準点まわりの角運動量 ${\boldsymbol {L}}_{g}(t)$ は次で与えられる^[8]：

\textstyle {\boldsymbol {L}}_{g}(t):={\boldsymbol {R}}\times {\boldsymbol {P}}=\sum _{i}{\boldsymbol {R}}\times {\boldsymbol {p}}_{i}

この ${\boldsymbol {L}}_{g}(t)$ は系の基準点まわりの全角運動量 $\textstyle {\boldsymbol {L}}(t)=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {p}}_{i}$ と一致しない。なぜなら重心位置へ質量と力が一点集中するとみなしているからである（定義式を参照）。これは重心の運動量 ${\boldsymbol {P}}$ が系の全運動量と常に等しいのと対照的である。 ${\boldsymbol {L}}_{g}(t)$ に対して各質点の重心まわりの角運動量の総和 ${\boldsymbol {L}}'(t)$ を足すと $\textstyle {\boldsymbol {L}}(t)$ になる^[8]。

力のモーメント

質点による置き換えを通じて、重心に作用する力のモーメントを定義できる。

質点による置き換えで重心に作用する合力は ${\boldsymbol {F}}$ とみなせるため、重心に掛かる基準点まわりの ${\boldsymbol {F}}$ のモーメント ${\boldsymbol {N}}_{g}(t)$ は、

\textstyle {\boldsymbol {N}}_{g}(t):={\boldsymbol {R}}\times {\boldsymbol {F}}=\sum _{i}{\boldsymbol {R}}\times {\boldsymbol {F}}_{ei}

で与えられる。この ${\boldsymbol {N}}_{g}(t)$ は系に掛かる基準点まわりの各外力のモーメントの総和 $\textstyle {\boldsymbol {N}}(t)=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {F}}_{ei}$ ^[9] と一致しない。なぜなら重心位置へ質量と力が一点集中するとみなしているからである（定義式を参照）。 ${\boldsymbol {N}}_{g}(t)$ に対して各質点に掛かる重心まわりの外力のモーメントを総和した ${\boldsymbol {N}}'(t)$ を足すと $\textstyle {\boldsymbol {N}}(t)$ になる^[10]。

${\boldsymbol {L}}_{g}$ と ${\boldsymbol {N}}_{g}$ には次の関係が成立する^[11]：

{\frac {d{\boldsymbol {L}}_{g}}{dt}}\ =\ {\frac {d{\boldsymbol {R}}}{dt}}\times {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {R}}\times {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}\ =\ {\boldsymbol {0}}+{\boldsymbol {R}}\times {\boldsymbol {F}}\ =\ {\boldsymbol {N}}_{g}

これは質点一般におけるオイラーの運動方程式そのものである。同時に $\textstyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}'}{dt}}={\boldsymbol {N}}'$ と $\textstyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}$ も成立している^[10]^[9]。

天体力学

→詳細は「共通重心」を参照

天体力学的には、2つの球状天体の重心と軌道には次のようなパターンがある。

質量にあまり差がない2天体が共通の重心の周りを公転する（例えば、小惑星アンティオペの系）。
質量にやや差がある2天体が共通の重心の周りを公転する（例えば、冥王星とカロンの系）。
質量にかなり差がある2天体が共通の重心の周りを公転する（例えば、地球と月の系）。
質量に圧倒的な差がある2天体が共通の重心の周りを公転する（例えば、太陽と地球の系）。
質量にあまり差がない2天体が共通の重心の周りを異なる楕円軌道で公転する（連星系など）。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

↑ 遠心力は「見掛けの力」であるため

出典

↑ 文部省編『学術用語集地理学編』日本学術振興会、1981年。ISBN 4-8181-8155-2。
1 2 内力 ... 外力 ... 全部を加え合わせると，内力については作用・反作用の法則により ... 外力だけが残って(小出 1997, p. 48)
1 2 3 4 $\textstyle M{\frac {d^{2}{\boldsymbol {R}}}{dt^{2}}}={\boldsymbol {F}}_{1}+{\boldsymbol {F}}_{2}+\dots =\sum _{i}{\boldsymbol {F}}_{i}$ ... この式は，質点が $M$ である 1 個の質点 ― その位置を ${\boldsymbol {R}}$ とする ― に外力 ${\boldsymbol {F}}_{1},{\boldsymbol {F}}_{2},\dots$ が作用しているときの運動方程式になっている．つまり，質点系の重心は，質点系の全質量がそこに集中し，外力もすべてそこにはたらいているときの 1 つの質点と全く同じ運動をする．(小出 1997, p. 49)
1 2 質点系の全運動量は，重心に全質量が集中したと考えたときの質点の運動量に等しい． ${\boldsymbol {P}}=M{\dot {\boldsymbol {R}}}$ (小出 1997, p. 54)
1 2 3 $\sum {\tfrac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}={\tfrac {1}{2}}MV^{2}+\sum {\tfrac {1}{2}}m_{i}v_{i}'^{2}$ ... となる．つまり，質点系の運動エネルギーは，重心運動の運動エネルギーと，それに対する相対運動の運動エネルギーの和に等しい．(小出 1997, p. 60)
↑ 力 (質点にはたらくすべての力の合力）のした仕事はその間における運動エネルギーの変化高に等しい(小出 1997, pp. 20–21)
1 2 質点に ... 番号をつける ... 2 と 3 を一緒にしたのものを 1 つの質点のように扱ったとして，それと 1 との衝突がどのようなものになっているか ... 衝突後の運動量は ... 衝突前のものと等しい ... ところが，運動エネルギーの方は ... 衝突によって減少している ... 2つの物体の間の非弾性衝突(小出 1997, pp. 57–59)
1 2 ${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {L}}_{G}+{\boldsymbol {L}}'$ ただし ... ${\boldsymbol {L}}_{G}={\boldsymbol {R}}\times M{\boldsymbol {V}}$ ... $\textstyle {\boldsymbol {L}}'=\sum m_{i}{\boldsymbol {r}}_{i}'\times {\boldsymbol {v}}_{i}'$ ... 地球の例でいえば ${\boldsymbol {L}}_{G}$ は地球の重心の公転の角運動量， ${\boldsymbol {L}}'$ は重心の周りの自転の角運動量である．(小出 1997, p. 64)
1 2 質点系の（全）角運動量を $L$ ... とすると， $\textstyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}=\dots =\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {F}}_{i}$ となる ... 質点系の（全）角運動量の時間的変化の割合は，その系にはたらく外力のモーメントの総和に等しい．(小出 1997, p. 64)
1 2 $\textstyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}'}{dt}}=\sum {\boldsymbol {r}}_{i}'\times {\boldsymbol {F}}$ ... 重心に関する外力のモーメントの和である．これを ${\boldsymbol {N}}'$ と書く(小出 1997, p. 64)
↑ $\textstyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}_{G}}{dt}}={\boldsymbol {R}}\times \sum {\boldsymbol {F}}_{i}=\sum _{i}{\boldsymbol {R}}\times {\boldsymbol {F}}_{i}$ ... となる．(小出 1997, p. 64)