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全角運動量

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{\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})

分野
静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学

定式化
ニュートン力学解析力学: ラグランジュ力学ハミルトン力学

基本概念
空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理

主要項目

科学者
ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン

全角運動量（ぜんかくうんどうりょう、（英: total angular momentum）は質点系をなす各質点の角運動量の総和である^[1]。質点系の全角運動量とも。

定義

$t$ を時間、 $\mathrm {N}$ を質点系の全質点の集合、 ${\boldsymbol {l}}_{i}(t)\ (i\in \mathrm {N} )$ を質点 $i$ の角運動量とする。これらを用いて全運動量 ${\boldsymbol {L}}(t)$ は次で定義される^[1]：

{\boldsymbol {L}}(t)=\sum _{i\in \mathrm {N} }{\boldsymbol {l}}_{i}(t)

全角運動量の時間変化率は外力のモーメントの総和と等しく、この総和がゼロであれば全角運動量は保存され、内力は全角運動量に影響しない^[2]。

全角運動量は、全質量と全外力が重心に一点集中したとみなす重心運動の角運動量 ${\boldsymbol {L}}_{g}(t)$ と、重心に対する各質点の相対運動の角運動量の総和 ${\boldsymbol {L}}'(t)$ 、この二つの和と一致する^[3]。

{\boldsymbol {L}}(t)={\boldsymbol {L}}_{g}(t)+{\boldsymbol {L}}'(t)

逆に見れば、全運動量と異なり、 ${\boldsymbol {L}}_{g}$ は ${\boldsymbol {L}}$ と一致しない。これは ${\boldsymbol {L}}_{g}$ がすべての力の作用点を重心一点に集約している影響である。

全角運動量は角速度と慣性テンソルの積に等しい。

{\boldsymbol {L}}(t)=I{\boldsymbol {\omega }}

1 2 質点系の（全）角運動量を $\textstyle {\boldsymbol {L}}=\ldots =\sum _{i}{\boldsymbol {l}}_{i}$ ... とする(小出 1997, p. 63)
↑ 外力が作用していないか，あってもそのモーメントの和が $0$ ならば ${\boldsymbol {L}}$ は一定に保たれる．これが質点系の場合の角運動量の保存則である．(小出 1997, p. 63)
↑ ${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {L}}_{G}+{\boldsymbol {L}}'$ ただし ... ${\boldsymbol {L}}_{G}={\boldsymbol {R}}\times M{\boldsymbol {V}}$ ... $\textstyle {\boldsymbol {L}}'=\sum m_{i}{\boldsymbol {r}}_{i}'\times {\boldsymbol {v}}_{i}'$ ... 地球の例でいえば ${\boldsymbol {L}}_{G}$ は地球の重心の公転の角運動量， ${\boldsymbol {L}}'$ は重心の周りの自転の角運動量である．(小出 1997, p. 64)