運動量

古典力学
	; 運動の第2法則
	歴史（英語版）
分野
	静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学
定式化
	ニュートン力学; 解析力学: ラグランジュ力学; ハミルトン力学; ;
基本概念
	空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理
主要項目
	剛体 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転 · 円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力（英語版） · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度
科学者
	ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン
	表; 話; 編; 歴;

運動量; momentum
量記号	p
次元	M L T−1
種類	ベクトル
SI単位	キログラムメートル毎秒(kg⋅m⋅s−1), ニュートン秒 (N⋅s)
CGS単位	ダイン秒 (dyn⋅s)
プランク単位	プランク運動量
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

運動量（うんどうりょう、（英: momentum）とは、物体の運動の状態を表す物理量（ベクトル量）の1つであり、「静止した瞬間から現在までの間にその物体が受けた力積の総量」として定義される。運動学的運動量（英: kinetic momentum）^[要出典]、動的運動量（英: dynamical momentum）^[要出典]、線型運動量（英: linear momentum、translational momentum）^[要出典]とも。

概要

運動量は運動の状態を表す時間のベクトル関数であり^[1]^[2]、それ自体は運動の勢い^[3]^[4]、その大きさは運動の激しさ^[5]、その向きは運動の方向と解釈される。運動量は運動量保存則に従う保存量であり^[6]^[7]、運動の第2法則（ニュートンの運動方程式）に従ってその時間変化率がおよぼされる力と一致する^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]。また、物体におよぼされた力積が運動量の時間変化量と一致する^[13]。系をなす全ての物体の運動量の総和は系の全運動量になる^[14]。古典力学において運動量は質量と速度の積に等しく^[15]^[16]、運動エネルギーは運動量の大きさに紐づく^[17]（⇒ #性質）。

解析力学では、上述の定義から離れ、運動量（一般化運動量とも）は一般化座標とオイラー＝ラグランジュ方程式を通じて与えられる（⇒ #解析力学における運動量）。

単位

単位は、kg⋅m/sまたはN⋅s。

静止している物体の運動量は、 ${\overrightarrow {0}}$ kg⋅m/s（ ${\overrightarrow {0}}$ N⋅s）である^[要出典]。

性質

大きさと向きを持つベクトル量

運動量はベクトル量であり^[1]^[2]、大きさと方向を持つ^[18]。

運動の勢い

運動量は運動の勢いと解釈される^[3]^[4]^[5]。

直交座標系のベクトルとしての運動量は $x,y,z$ 軸それぞれに値を持つ。後述するように、古典力学において運動量は質量と速度の積であるため^[15]^[3]、運動量の各成分は、運動の向きを符号として持ち、重い物体がその軸方向に素早く動くほど絶対値が大きくなる^[19]。このように振る舞う $x,y,z$ 成分を束ねたベクトルである運動量は、運動の「勢い（モメンタム）」と解釈できる^[3]^[4]。

大きさが運動の激しさ

運動量の大きさは運動の激しさと解釈される^[5]。

一般に、重くて速い物体の運動は向きに依らず「激しい」と理解される^[5]。後述するように、古典力学において運動量は質量と速度の積であり^[15]、重くて速い物体の運動は運動量が大きい^[19]。この事実と運動量の大きさを激しさと解釈することは整合的である。

方向が運動の向き

運動量の方向は運動の向きである。

時間の関数

運動量は運動の状態を示す量であり、時間の関数で表現される。

運動は時間発展する。そのため運動の状態を示す運動量も時間発展し、時刻 $t$ の関数 ${\boldsymbol {p}}(t)$ で表現される。運動量は大きさと向きを持つベクトル量であるため^[18]^[1]、運動量の瞬間的な時間発展は維持（黒）、あるいは大きさのみ（緑）・向きのみ（赤）・大きさ＋向き（青）の変化、のいずれかになる（図参照）。

時間変化率が力

→詳細は「運動の第2法則」を参照

運動量の時間変化率は物体におよぼされる力と一致する^[8]。

運動の第2法則より、物体の運動量が時間によって変化する割り合いすなわち時間変化率は、その物体におよぼされる力に比例し同じ向きになる^[10]。比例定数が $1$ となる単位系を採用すれば、時間 $t$ と運動量 ${\boldsymbol {p}}(t)$ と力 ${\boldsymbol {F}}(t)$ の間には次のニュートンの運動方程式が成立する^[8]^[9]：

{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}(t)

ここで ${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}$ なら $\textstyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {0}}$ であり、運動量は変化しない（⇒ #保存量、参考: 運動の第1法則）。

${\boldsymbol {p}}$ は大きさと向きを持つベクトル量であるため^[18]^[1]、その時間発展は大きさと向きに分解できる。よって ${\boldsymbol {F}}$ も ${\boldsymbol {p}}$ の大きさの変化率に寄与する部分と向きの変化率に寄与する部分に分解できる。前者は ${\boldsymbol {p}}$ と平行な部分 ${\boldsymbol {F}}_{t}$ で、後者は残りの部分 ${\boldsymbol {F}}_{n}$ である（図参照）。 ${\boldsymbol {F}}_{n}={\boldsymbol {0}}$ なら向きそのままに大きさだけが変化し、 ${\boldsymbol {F}}_{t}={\boldsymbol {0}}$ なら大きさそのままに向きだけが変化する。これは大きさが運動の激しさ・方向が運動の向きと合わせて、 ${\boldsymbol {F}}_{t}$ がアクセル・ブレーキ、 ${\boldsymbol {F}}_{n}$ がハンドルに例えられる（加速度も同様）^[20]。なお、この分解は運動量と力のなす角度に依存するため、 ${\boldsymbol {F}}_{n}\neq {\boldsymbol {0}}$ が作用して向きが変わると、次の時刻では同じ ${\boldsymbol {F}}$ でも異なる角度を取りうる。つまり分解が時間依存になりうる。

時間変化量が力積

→詳細は「力積」を参照

運動量の時間変化量は物体におよぼされた力積と一致する^[13]。

時刻 $t_{0}$ から $t_{1}$ の間に物体へ力 ${\boldsymbol {F}}(t)$ が作用したとする。ニュートンの運動方程式（⇒ #時間変化率が力）と力積 ${\boldsymbol {I}}$ の定義を用いると、この間の運動量の時間変化量 $\Delta {\boldsymbol {p}}$ は、

\Delta {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {p}}(t_{1})-{\boldsymbol {p}}(t_{0})=\int _{{\boldsymbol {p}}(t_{0})}^{{\boldsymbol {p}}(t_{1})}d{\boldsymbol {p}}'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d{\boldsymbol {p}}'}{dt}}dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}(t)dt={\boldsymbol {I}}

と変形できる^[13]。すなわち、運動量の時間変化量 $\Delta {\boldsymbol {p}}$ は物体におよぼされた力積 ${\boldsymbol {I}}$ と一致する^[13]。

力が一定つまり ${\boldsymbol {F}}(t)={\boldsymbol {f}}$ のとき、上式より $\textstyle \Delta {\boldsymbol {p}}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {f}}dt=\left[{\boldsymbol {f}}t\right]_{t_{0}}^{t_{1}}={\boldsymbol {f}}\Delta t$ となる。よって一定の力は長時間加えるほど物体の運動量を変える。逆に大きな力でもそれがごく短期間であれば、物体の運動量はさほど変わらない^{[独自研究?]}。

和が全運動量

→詳細は「全運動量」を参照

系を構成する要素の運動量を全て足し合わせると、系の全運動量となる^[14]。この意味で、運動量は加法的な量である^[要出典]。

保存量

→詳細は「運動量保存の法則」および「全運動量 § 外力のみで変化」を参照

運動量は運動量保存則に従う保存量である^[6]^[7]。

外力の和が常に ${\boldsymbol {0}}$ なとき、全運動量は時間発展に依らず一定、すなわち運動量保存則が成立する^[6]^[7]。系をなす物体 $\mathrm {A}$ が運動量を失うと、ちょうど失われた分だけ他の物体の運動量が増加する。保存量である運動量は系をなす物体間で授受され、系として増えも減りもしない。

対称性に対応する保存量

→「ネーターの定理」および「ポアンカレ対称性」も参照

運動量は空間の一様性（並進対称性）に対応する保存量である。時間の一様性に対応するエネルギー、空間の等方性に対応する角運動量とともに、基本的な物理量である^[21]^[22]。

運動量保存の法則は、ニュートン力学においては作用反作用の法則から導かれるが、運動量保存則自体は作用反作用の法則より一般的に成り立つ法則である^[23]。たとえば、電磁気学などの場の理論では近接作用論の立場をとり、遠隔作用論的な法則である作用反作用の法則をその基礎には置かない。しかしながら、電磁気学においても運動量保存の法則は成り立ち、それに伴い運動量の定義も拡張される^[24]。

質量と速度の積

古典力学において、運動量は質量と速度の積に等しい^[15]^[16]。

物体の質量を $m$ 、速度を ${\boldsymbol {v}}(t)$ 、運動量を ${\boldsymbol {p}}(t)$ とする。これらの間には、古典力学の範囲で ${\boldsymbol {p}}(t)=m{\boldsymbol {v}}(t)$ が常に成立する^[15]。よって古典力学の範囲において、運動量は速度に比例し、また質量にも比例する。運動量の時間変化率が力という性質と合わせると^[25]、 $m$ は運動の変化しづらさ・慣性の大きさと解釈でき、 $m$ は慣性質量とも呼ばれる^[26]。

ニュートンは『自然哲学の数学的諸原理』でこの性質を述べた^[27]。古典力学の範囲でこの性質は正しいとみなせるが、相対論的力学では成立しない^[28]。

大きさが運動エネルギーと紐づく

運動量の大きさは運動エネルギーと紐づく。

古典力学の範囲において物体の運動量が質量と速度の積であることを用いると^[15]、運動エネルギー $K$ は次のように変形できる^[17]：

K={\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}^{2}={\frac {(m{\boldsymbol {v}})^{2}}{2m}}={\frac {{\boldsymbol {p}}^{2}}{2m}}={\frac {\left|{\boldsymbol {p}}\right|^{2}}{2m}}

すなわち、古典力学の範囲では運動量の大きさの二乗を質量の二倍で割ったものが運動エネルギーになる。質量で割るため $\left|{\boldsymbol {p}}\right|$ と $K$ は紐づいているに過ぎず、運動量の一致は運動エネルギーの一致を意味しない（例^{[注 1]}）。逆に質量が等しい条件下（例: 同じ物体の異なる時点）であれば、運動量の大きさの一致は運動エネルギーの一致を意味し、これは運動量の向きに依らない。

このことは、力 ${\boldsymbol {F}}$ を大きさに寄与する ${\boldsymbol {F}}_{t}$ と向きに寄与する ${\boldsymbol {F}}_{n}$ に分解できること（⇒ #時間変化率が力）と関連する。運動エネルギーは運動量の大きさに紐づき、逆に運動量の向きに影響されない。よって ${\boldsymbol {F}}_{t}$ は運動エネルギーを増減させるが、 ${\boldsymbol {F}}_{n}$ は向き・軌道を曲げるだけで運動エネルギーに関与しない。アクセル・ブレーキとハンドルの比喩に整合的である^[20]。

他の物理量との関係

運動量は他の様々な物理量と関連する。以下はその一例である：


名称	変換式	名称	変換式
位置	${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+{\frac {1}{m}}\int _{0}^{t}{\boldsymbol {p}}\,dt'$
慣性質量	$m={\frac {\|{\boldsymbol {p}}\|}{\|{\boldsymbol {v}}\|}}$	慣性モーメント
速度^[15]^[16]	${\boldsymbol {v}}={\frac {\boldsymbol {p}}{m}}$	角速度^[29]	${\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}}{m{\boldsymbol {r}}^{2}}}$
運動量	${\boldsymbol {p}}$	角運動量	${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}$
力積^[13]	${\boldsymbol {I}}={\boldsymbol {p}}(t_{1})-{\boldsymbol {p}}(t_{0})$
力^[8]^[9]	${\boldsymbol {F}}={\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}$	力のモーメント	${\boldsymbol {N}}={\frac {d}{dt}}({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}})$
運動エネルギー^[17]	$K={\frac {{\boldsymbol {p}}^{2}}{2m}}$

解析力学における運動量

解析力学において、一般化座標 $q i$ に対応する一般化運動量 (generalized momentum) $p i$ はその系のラグランジアン $L (q, \cdot q)$ の一般化速度 $\cdot q i$ による偏微分として定義される。

$p_{i}:={\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

ここで、ラグランジアン $L (q, \cdot q)$ は、運動エネルギー $K$ 、ポテンシャル $U$ の差として定義される。

$L=K-U.$

一般化運動量と区別するため、古典力学的な運動量は運動学的運動量・動的運動量とも呼ばれる。

ハミルトン形式の力学では、一般化速度の代わりに一般化運動量が力学変数として用いられる。ハミルトニアン $H (q, p)$ は、ラグランジアン $L (q, \cdot q)$ のルジャンドル変換として定義される^[30]。ルジャンドル変換^[31]

$H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}}):=\max _{{\dot {\boldsymbol {q}}}\in D}\left\{{\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right\}$

の右辺を最大化する $\cdot q$ を考えると、ルジャンドル変換をする領域 $D$ の中でラグランジアンが凸でありかつ充分滑らかなら、そのような $\cdot q$ は以下の関係を満たす。

${\frac {\partial }{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}\left({\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right)={\boldsymbol {0}}.$

これはすなわち、ハミルトニアンの変数 $p$ が一般化運動量に等しいことを意味する。

ハミルトン形式の解析力学

特にハミルトン形式の解析力学においては、正準方程式を通じて与えられる正準変数の一方を座標と呼び他方を運動量と呼ぶ^[32]。この意味の運動量は、他と区別して、正準運動量^{[注 2]}と呼ばれる。また、正準運動量は、正準方程式において座標の対となるという意味で、共役運動量^{[注 3]}と呼ばれる^[33]。運動量は、ハミルトン形式の力学では、速度よりも基本的な量であり、ハミルトン形式で記述される通常の量子力学においても重要な役割を果たす。

共役運動量と通常の運動学的運動量の違いが際立つ例として、磁場中を運動する電子の運動の例が挙げられる（#解析力学における運動量も参照）。電磁場中を運動する電子に対してはローレンツ力が働くが、このローレンツ力に対応する一般化されたポテンシャルエネルギーには電子の速度の項があるために、共役運動量はラグランジアンのポテンシャル項に依存した形になる^[34]。このとき共役運動量と運動学的運動量は一致しない。また、電磁場中の電子の運動を記述する古典的ハミルトニアンでは、共役運動量の部分がすべて共役運動量からベクトルポテンシャルの寄与を引いたものに置き換わる^[34]。

直交座標系

3 次元の直交座標系 $x = x ˆ x + y ˆ y + z ˆ z$ においては、ポテンシャルが速度 $\cdot x$ に依存しないときには

$L({\boldsymbol {x}},{\dot {\boldsymbol {x}}})={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-U({\boldsymbol {x}})$

$p_{\alpha }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\alpha }}}}=m{\dot {\alpha }},\quad \alpha =x,y,z$

であり、このとき一般化運動量 $p$ は質量と速度の積となっている。これはニュートン形式の運動量に一致する。

極座標系

一般化座標として二次元極座標 $x = (r, θ)$ を選ぶと、ラグランジアン及び $r, θ$ に共役な運動量 $p r, p θ$ はそれぞれ

$L(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-U({\boldsymbol {x}})$

$p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}$

$p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}$

となる。ここで、 $θ$ に共役な運動量は角運動量となっている。また $r$ の共役運動量は動径方向への運動量を表している。

一般化されたポテンシャル

ポテンシャルが速度に依存するときもある。このとき直交座標系における一般化運動量はニュートン力学におけるものとは異なっている。

$p_{i}={\frac {\partial (K({\boldsymbol {v}})-U({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}}))}{\partial v_{i}}}\neq {\frac {\partial K({\boldsymbol {v}})}{\partial v_{i}}}=mv_{i}.$

このような系の例として、電磁場中を運動する電荷を持つ粒子の非相対論的な運動が挙げられる。この系のラグランジアンは具体的に

$L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})={\frac {m}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}-e\phi ({\boldsymbol {x}})+e{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})$

である。ここで $e$ は物体の持つ電荷、 $φ$ はスカラーポテンシャル、 $A$ はベクトルポテンシャルである。このとき、共役運動量は

${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}+e{\boldsymbol {A}}$

となる。このときの共役運動量は質量と速度の積の普通の運動量に、電磁場との相互作用による $e A$ の項が加わる。このとき、ハミルトニアンは、ルジャンドル変換

$H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}})={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})$

より、

$H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}})={\frac {\left({\boldsymbol {p}}-e{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})\right)^{2}}{2m}}+e\phi ({\boldsymbol {x}})$

となる。ベクトルポテンシャルのない系と比べると、形式的には共役運動量 $p$ を運動学的な運動量 $p - e A$ に置き換えたものとなっている^[34]。

相対性理論における運動量

相対性理論において運動量とエネルギーはミンコフスキー空間における四元ベクトルを為し、

p^{\mu }=m{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}

である（ $m$ は質量、 $τ$ は固有時間）。これの空間成分は

p_{j}=m{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {mv_{j}}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

となる。非相対論的極限 $v / c \to 0$ において前述の運動量（質量と速度の積）に一致する。

運動量とエネルギーは

-m^{2}c^{2}=-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}+{\vec {p}}^{2}

の関係を満たしている。運動量が $0$ の場合は有名な $E = mc 2$ の式になっている。

量子論における運動量

→詳細は「運動量演算子」を参照

光（あるいは電磁波）は波であるが、実験によりエネルギーと運動量を持つ粒子でもあると考えられている。そのエネルギーと運動量は

E=h\nu =\hbar \omega

p={\frac {h\nu }{c}}={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k

である。（ここで $h$ はプランク定数、 $ν$ は振動数、 $ω = 2 π ν$ は角振動数、 $c$ は真空中の光速、 $λ$ は波長、 $k$ は波数である）

前述のエネルギーと運動量の関係式にこの関係を入れると、 $ω = ck$ からこの粒子の質量は $0$ であることが分かる。この質量 $0$ の粒子を光子という。

量子力学では、上記の古典論的運動量 ${\vec {p}}$ は、波動関数 $\psi (t,{\vec {x}})=\psi (t,x,y,z)$ に対する、

{\vec {p}}\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}=\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)

という演算子であるとみなされる。ここに、 $\,i$ は虚数単位、 $\,\nabla$ はナブラである。

或いはエネルギーとまとめて四元ベクトルで表すと、

p_{\mu }\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}

である。これらは対応原理と呼ばれ、解析力学における作用積分 $\,S$ の汎関数微分が

{\frac {\delta S}{\delta x^{\mu }}}=p_{\mu }

であることなどから類推された。

また、正準量子化という方法によれば、位置と運動量は正準交換関係

[x^{\mu },p_{\nu }]=i\hbar \delta _{\nu }^{\mu }

[x^{\mu },x^{\nu }]=0\,,\,[p_{\mu },p_{\nu }]=0

を満たす物理量として量子化される。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

↑ $10{\bigl (}{\begin{smallmatrix}10\\0\\0\end{smallmatrix}}{\bigr )}=100{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\quad {\frac {1}{2}}10\left|{\bigl (}{\begin{smallmatrix}10\\0\\0\end{smallmatrix}}{\bigr )}\right|^{2}=500\neq 50={\frac {1}{2}}100\left|{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}}{\bigr )}\right|^{2}$
↑ 英: canonical momentum
↑ 英: conjugate momentum

出典

1 2 3 4 運動量はベクトルである(戸田 1982, p. 20)
1 2 運動量というベクトル量(小出 1997, p. 51)
1 2 3 4 運動量 (質量と速度の積 “運動の勢い”)p.62 より引用。谷埜, 予士次 (2003). “力学的見地からみたバランス”. 関西理学療法. 3: 59–62.
1 2 3 デカルトは，物体の運動の勢いを示す量として運動量P(ベクトル量)を導入した。p.4 より引用。“第３章力と運動”, 「物理学概論Ⅰ」力学 (電気通信大学)
1 2 3 4 運動の激しさを表す量として運動量があり、運動量＝質量×速度で求められます。ボウリングではボールの質量が大きいほど、速いほどピンは勢いよく倒れます“（９１３）運動量と力積　デッドボールの危険性”. 神戸新聞. (2022-08-28).
1 2 3 質点系の全運動量の時間的変化の割合は，外力の総和に等しく，内力には無関係である． $\textstyle {\dot {\boldsymbol {P}}}={\ddot {\boldsymbol {R}}}=\sum _{i}{\boldsymbol {F}}_{i}$ ... もし外力がはたらいていないか，その総和が 0 ならば，質点系の全運動量は一定に保たれる．これを運動量保存の法則という．(小出 1997, p. 54)
1 2 3 質点系の全運動量の時間的変化は外力の和に等しい．外力がない（内力だけある）ときには，全運動量は保存される．これは質点系に対する運動量保存の法則である．(戸田 1982, p. 147)
1 2 3 4 第 2 法則によれば，力 ${\boldsymbol {F}}$ は運動量の変化速度に比例するので，比例定数を $1$ とすれば $\textstyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}$ ... が成り立つ．(戸田 1982, p. 20)
1 2 3 質点の運動方程式は $\textstyle {\boldsymbol {F}}={\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}$ ... と書くこともできる．ニュートンが最初に与えたのはこの形の式であった．(小出 1997, p. 52)
1 2 運動の第 2 法則 ... 運動量が時間によって変化する割り合い (変化速度) はその物体にはたらく力 (force) に比例し，その力の向きに生じる．(戸田 1982, p. 18)
↑ 松田 1993, p. 21.
↑ Newton 1729, Axioms, or Laws of Motion; Law II.
1 2 3 4 5 運動量の変化として $\textstyle {\boldsymbol {p}}(t)-{\boldsymbol {p}}(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}{\boldsymbol {F}}dt$ ... を得る．この右辺，すなわち力を時間で積分したものを力積 (impulse) という．上式は運動量の変化は力積に等しいと表現される．(戸田 1982, p. 26)
1 2 運動量 ${\boldsymbol {p}}_{i}$ ... 質点系の全運動量を ${\boldsymbol {P}}=\sum {\boldsymbol {p}}_{i}$ ... で定義する．(小出 1997, p. 53)
1 2 3 4 5 6 7 古典力学においては運動量 (momentum) は質量と速度の積に等しい．... 質量はスカラーであって，これを $m$ とすると，運動量 ${\boldsymbol {p}}$ は ... ${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$ ... と表される．(戸田 1982, p. 18, 20)
1 2 3 質量 $m$ の質点が速度 ${\boldsymbol {v}}$ で運動しているときに，この質点は運動量 ${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$ をもっているという．(小出 1997, p. 51)
1 2 3 運動エネルギー ... $\textstyle {\frac {1}{2}}m_{1}{v_{1}}^{2}$ ... あるいは $\textstyle {\frac {1}{2m_{1}}}{p_{1}}^{2}$ (小出 1997, p. 56)
1 2 3 大きさと方向によって指定され，その合成が平行四辺形の法則にしたがうものをベクトルという．(小出 1997, p. 2)
1 2 重いものが大きな速さで動いているときは大きな運動量をもつ．(小出 1997, p. 51)
1 2 自動車に乗っている場合を想定して，アクセルやブレーキとハンドルの操作に関連させて考えるとよいであろう．... 加速度の接線成分が ... アクセルやブレーキ ... 方向の変化，つまりハンドル操作による加速度が ... 進行方向 ... に垂直(小出 1997, pp. 9–10)
↑ ランダウ & リフシッツ 2008.
↑ 運動量 ... 力学においては速度などよりも基本的な量である(小出 1997, p. 51)
↑ 砂川 1987, p. 234, 第 5 章 §2 電磁場のエネルギーと運動量.
↑ 砂川 1987, pp. 156–160, 234–240, 第 3 章 §5 定常電流間に作用する力; 第 5 章 §2 電磁場のエネルギーと運動量.
↑ 第 2 法則によれば，力 ${\boldsymbol {F}}$ は運動量の変化速度に比例する(戸田 1982, p. 20)
↑ 質量 (mass) は物体固有のスカラー量と考えておけばよい．これは慣性の大きさともいえる量で，慣性質量ともよばれる(戸田 1982, pp. 18–19)
↑ ニュートンの時代には，運動量という概念は定着していなかったので，ニュートンは運動量の変化といわずに運動の変化と述べている．そして別のところで，運動の量は質量と速度の積で測られると付加している(戸田 1982, p. 18)
↑ 運動の量は質量と速度の積で測られると付加している．（この最後の部分は後に相対論的力学で修正された(戸田 1982, p. 18)
↑ Angular velocity vector $\textstyle {\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{r^{2}}}$ This is a vector that is perpendicular to the plane of the particle’s motion, and points in the direction of the axis of rotation.Young, Andrew (2026-09-09), “8 Rotational mechanics”, Mechanics (lecture note), University of Bristol
↑ 須藤 2008, pp. 45–47, 5.2 ルジャンドル変換.
↑ 田崎 2000, pp. 259–270, 270–278, 付録 G. 凸関数; H. Legendre 変換.
↑ 須藤 2008, pp. 42–43, 48–51, §5 ハミルトン形式と正準変換.
↑ 須藤 2008, pp. 42, 51, §5 ハミルトン形式と正準変換.
1 2 3 須藤 2008, pp. 202–204, 付録 A 電磁場の古典論.

参考文献

Newton, Isaac (1729) (英語), The Mathematical Principles of Natural Philosophy, translated by Andrew Motte (English ed.), ウィキソースより閲覧。
戸田, 盛和『力学』岩波書店〈物理入門コース〉、1982年。ISBN 4-00-007641-8。
松田, 哲『力学』丸善〈パリティ物理学コース〉、1993年。
小出, 昭一郎『物理学（三訂版）』（58版）裳華房、1997年。ISBN 978-4-7853-2074-4。
ランダウ, L.D.、リフシッツ, E.M. 著、水戸巌・恒藤敏彦・廣重徹訳『力学・場の理論 : ランダウ＝リフシッツ物理学小教程』筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2008年。ISBN 978-4-480-09111-6。
須藤, 靖『解析力学・量子論』東京大学出版会、2008年。ISBN 978-4-13-062610-1。
砂川, 重信『電磁気学』（新装版）岩波書店〈物理テキストシリーズ 4〉、1987年。ISBN 4-00-007744-9。
田崎, 晴明『熱力学現代的な視点から』（初版）培風館、2000年4月12日。ISBN 978-4-563-02432-1。

典拠管理データベース
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その他	Yale LUX

運動量 momentum
量記号	p
次元	M L T⁻¹
種類	ベクトル
SI単位	キログラムメートル毎秒(kg⋅m⋅s⁻¹), ニュートン秒 (N⋅s)
CGS単位	ダイン秒 (dyn⋅s)
プランク単位	プランク運動量
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運動量

概要

単位

性質