イェンセンの不等式

イェンセンの不等式（いぇんせんのふとうしき、英語: Jensen's inequality）は、凸関数を使った不等式である。1906年にデンマークの数学者ヨハン・イェンセンによって示された。

f(x) を実数上の凸関数とする。

離散の場合：

${\displaystyle p_{1},\,p_{2},\,\ldots }$ を、${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}$ を満たす正の実数の列とする。また、${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\ldots }$ を実数の列とする。そのとき、次が成り立つ。

${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}f(x_{i})\geq f\left(\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}x_{i}\right)}$

連続値の場合：

p(x) (> 0) を、${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }p(x)\,dx=1}$ を満たす実数上の可積分関数とする。また、y(x) を実数上の可積分関数とする。そのとき、次が成り立つ。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(y(x))p(x)\,dx\geq f\left(\int _{-\infty }^{\infty }y(x)p(x)\,dx\right)}$

ルベーグ積分論の観点では、離散の場合も連続の場合も同一に見倣せる。

証明は、f の${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y(x)p(x)\,dx}$ における接線を g とおいて、常に g(x) が f(x) よりも小さいことを使えばよい。

定理の一般化と測度論的表現

ルベーグ積分および測度論の枠組みにおいて、イェンセンの不等式は以下のように一般化された形で表現される。

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ を、${\displaystyle \mu (\Omega )=1}$ を満たす確率空間（全測度が1の測度空間）とする。g を Ω 上で定義された μ-可積分な実数値関数とし、${\displaystyle \phi }$ を g の値域上で定義された凸関数とする。このとき、合成関数 ${\displaystyle \phi \circ g}$ の負の部分が可積分であるならば、次が成り立つ^[1]。

${\displaystyle \int _{\Omega }\phi (g)\,d\mu \geq \phi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right)}$

確率論の言葉を用いれば、確率変数 X と凸関数 ${\displaystyle \phi }$ に対して、次のように期待値演算子 E で表すことができる。これは統計学や機械学習において最も頻繁に使用される形式である。

${\displaystyle E[\phi (X)]\geq \phi (E[X])}$

なお、${\displaystyle \phi }$ が凹関数（上に凸な関数）である場合は、不等号の向きが逆転する。

応用

イェンセンの不等式は、数学の様々な分野において、他の重要な不等式を導出するための基礎として、あるいは数式の下限・上限を評価する道具として一定の役割を担っている。

参考文献

• J. L. W. V. Jensen (1906) "Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes", Acta Mathematica 30:175–193.
• David Chandler (1987). Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. ISBN 0-19-504277-8 
• Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768-71.
• Walter Rudin (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1 

脚注

関連項目

• ヨハン・イェンセン
• 凸関数
• 期待値

外部リンク

• 『イェンゼンの不等式の３通りの証明』 - 高校数学の美しい物語