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フォイエルバッハの定理

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幾何学において、フォイエルバッハの定理（フォイエルバッハのていり、英: Feuerbach's theorem、独: Satz von Feuerbach）は、三角形の九点円と内接円ないし傍接円が接するという定理である^[1]。カール・フォイエルバッハの名を冠する。

フォイエルバッハの定理は平面幾何学の中で最も美しい定理の一つに数えられる^[2]。

主張

三角形の辺の各中点、頂点と垂心の中点、三角形の頂点から対辺に降ろした垂線の足は共円である。この円を九点円という。半径は、外接円の半径の半分である。

三角形の3辺に、内接する円を内接円という。三角形の3辺の1つと内部で接し、2つと外部で接する円を傍接円という。

非正三角形の九点円と、内接円または傍接円は接する^[3]。これをフォイエルバッハの定理という。内接円と九点円の接点は、フォイエルバッハ点と呼ばれる。

正三角形の九点円と内接円は一致するため^[4]、厳密にいえば、正三角形に対して内接円と九点円は接するということはない^[5]。これは、正三角形の場合は例外として排除するか^[6]、極限の場合として見る^[7]ことで解決できる^{[注釈 1]}。

歴史

→「九点円 § 歴史」も参照

フォイエルバッハの定理の歴史はジョン・スタージャン・マッケイ（英語版）の九点円に関する作品 History of the Nine-point Circle に詳しい^[8]^[9]。マックス・シモン（英語版、ドイツ語版）の書籍^[10]にも、フォイエルバッハの定理の歴史や作品がまとめられている。

フォイエルバッハの定理は、1822年のカール・フォイエルバッハのモノグラフ Eigenschaften einiger merkwiirdigen Punkte des geridlinigen Dreiecks の§57で初めて証明された^[11]。フォイエルバッハによる証明は九点円の中心と内心の距離を計算する方法による。1828年、ヤコブ・シュタイナーは Annales de Gergonne でフォイエルバッハの功績について知らぬまま定理について述べた^[12]。その後彼は論文 Die geometrischen Con structionen, ausgefuhrt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises の最後の脚注でフォイエルバッハにこの定理を帰した^[13]。

フォイエルバッハの論文は即座に広まらなかったため、再発見をする者も存在した^[10]。1842年、オルリー・テルケムが解析的な証明でフォイエルバッハの定理を再発見した^[14]。初等幾何学的証明は、雑誌 Nouvelles Annales における1850年のJ. メンションの作品 Note sur le triangle rectiligne で示された^[15]。1854年に、W. H. レヴィが The Lady's and Gentleman's Diary（英語版） において、2つ目の初等的証明を示した^[16]。同年同雑誌で、 T. T. ウィルキンソンは、垂心系（英語版）を成す4つの三角形の内接円と傍接円の延べ16円が、九点円に接するという問題を投げかけた^[17]^{[注釈 2]}。これは、1855年の同雑誌で解決された^[18]。1860年頃^[10]、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってフォイルバッハの定理が再発見された^[19]。1860年6月17日、ジョージ・サーモンは、The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics で、フォイエルバッハの定理について、次の様に述べた^[20]。

" The following elementary theorems may interest some of the readers of the Quarterly Journal..."

1864年、ジョン・ケイシーは、Quarterly Journal で、現在ケイシーの定理と呼ばれる定理を用いてフォイエルバッハの定理を示した^[21]。ケイシーの書籍 Sequel to Euclid にも、証明が示されている^[22]。

ハインリヒ・シュレーター（英語版、ドイツ語版）は1868年にその時点で定理を拡張できるような証明方法がないことを述べた^[23]。1874年の論文ではフォイエルバッハやケイシー、バルツァー（ドイツ語版）^[24]の証明をあくまで代数的で本質が欠けると指摘し、自身で純粋幾何学的な証明を行った^[25]^{[注釈 3]}。

1882年、ヴィルヘルム・フィードラーは円点投象法^{[注釈 4]}（Zyklographie）と呼ばれる空間的な手法によって証明を試みた^[28]。フィードラーの証明は一部不足があった。この不足は1911年にミュラー（英語版、ドイツ語版）によって修正され^[29]、更に1922年、ヤン・ソボトカ（チェコ語版）によって単純な解法が示された^[30]。

他に、C. Leudesdorf（1884）^[31]、サミュエル・ロバーツ（英語版）（1887）^[32]、ヴィクトル・テボー（1910）^[33]など多くの数学者が、フォイエルバッハの定理を独自に証明している^[34]。

日本では、和算の時代においてフォイエルバッハの定理に到達することはできなかった^[35]。明治時代に入り、澤山勇三郎がフォイエルバッハの定理を約20通りの方法で証明した^[36]^{[注釈 5]}。

証明

フォイエルバッハの定理の証明にはさまざまなものが知られ、現代でも新たな証明が発見される^[37]。自動定理証明^[38]を用いるものも存在する。ジョン・マッケイの論文内でも、マッケイ自身やE. M. ラングレーなどによる、9つの証明が紹介されている。

ケイシーの定理による証明
次の証明はケイシーの定理^[39]、特にパーサーの定理を使うものである^[40]。 $△ ABC$ について、 $BC, CA, AB$ の中点をそれぞれ $D, E, F$ 、 $BC, CA, AB$ と内接円の接点をそれぞれ $X, Y, Z$ とする。 ${\overline {EF}}={\dfrac {a}{2}},\quad {\overline {FD}}={\dfrac {b}{2}},\quad {\overline {DE}}={\dfrac {c}{2}},\quad {\overline {DX}}=\left\|{\dfrac {b-c}{2}}\right\|,\quad {\overline {EY}}=\left\|{\dfrac {c-a}{2}}\right\|,\quad {\overline {YZ}}=\left\|{\dfrac {a-b}{2}}\right\|.$ が計算できる。適切に符号を選ぶことで、 ${\overline {DX}}\cdot {\overline {EF}}\pm {\overline {EY}}\cdot {\overline {FD}}\pm {\overline {FZ}}\cdot {\overline {DE}}=0$ とすることができるため、ケイシーの定理の逆より、内接円と九点円は接する。同様にして傍接円と九点円が接することも証明できる。

ケイシーの定理による証明

次の証明はケイシーの定理^[39]、特にパーサーの定理を使うものである^[40]。

$△ ABC$ について、 $BC, CA, AB$ の中点をそれぞれ $D, E, F$ 、 $BC, CA, AB$ と内接円の接点をそれぞれ $X, Y, Z$ とする。

${\overline {EF}}={\dfrac {a}{2}},\quad {\overline {FD}}={\dfrac {b}{2}},\quad {\overline {DE}}={\dfrac {c}{2}},\quad {\overline {DX}}=\left|{\dfrac {b-c}{2}}\right|,\quad {\overline {EY}}=\left|{\dfrac {c-a}{2}}\right|,\quad {\overline {YZ}}=\left|{\dfrac {a-b}{2}}\right|.$

が計算できる。適切に符号を選ぶことで、

${\overline {DX}}\cdot {\overline {EF}}\pm {\overline {EY}}\cdot {\overline {FD}}\pm {\overline {FZ}}\cdot {\overline {DE}}=0$

とすることができるため、ケイシーの定理の逆より、内接円と九点円は接する。同様にして傍接円と九点円が接することも証明できる。

反転による証明
J. P. テイラー^[41]などによる反転幾何学を使った証明^[42]を紹介する。 $BC, CA$ の中点をそれぞれ $M, M'$ 、 $∠ A$ の二等分線と $BC$ の交点を $R$ 、 $A$ から $BC$ に降ろした垂線の足を $P$ 、内心を $I$ 、それぞれ $BC$ と内接円・ $A$ 傍接円の接点を $Q, Q'$ 、九点円の直径を $MD$ とする。 $MP \times MR = MQ 2$ が成立する。中心 $M$ 、半径 $MQ$ の円による反転を施すと、内接円と傍接円は自身に移り、九点円は $MD$ に垂直な $R$ を通る直線に移動する。この直線と $BC$ の成す角は ${\begin{matrix}\angle MDP=\angle MM'P=\angle CM'P-\angle CM'M\\=2\angle CAP-\angle CAB=\angle CAP-\angle BAP=\angle B-\angle C\end{matrix}}$ である。今、 $RS$ を $R$ を通る内接円の接線とすると、反転より、この直線は傍接円とも接する。更に $BC$ と $\angle QIS=2\angle QIR=2\angle PAR=\angle B-\angle C$ で交わる。したがって九点円の反転像は直線 $RS$ である。ゆえに九点円は内接円及び傍接円と接する。

反転による証明

J. P. テイラー^[41]などによる反転幾何学を使った証明^[42]を紹介する。

$BC, CA$ の中点をそれぞれ $M, M'$ 、 $∠ A$ の二等分線と $BC$ の交点を $R$ 、 $A$ から $BC$ に降ろした垂線の足を $P$ 、内心を $I$ 、それぞれ $BC$ と内接円・ $A$ 傍接円の接点を $Q, Q'$ 、九点円の直径を $MD$ とする。

$MP \times MR = MQ 2$ が成立する。中心 $M$ 、半径 $MQ$ の円による反転を施すと、内接円と傍接円は自身に移り、九点円は $MD$ に垂直な $R$ を通る直線に移動する。この直線と $BC$ の成す角は

{\begin{matrix}\angle MDP=\angle MM'P=\angle CM'P-\angle CM'M\\=2\angle CAP-\angle CAB=\angle CAP-\angle BAP=\angle B-\angle C\end{matrix}}

である。今、 $RS$ を $R$ を通る内接円の接線とすると、反転より、この直線は傍接円とも接する。更に $BC$ と

\angle QIS=2\angle QIR=2\angle PAR=\angle B-\angle C

で交わる。したがって九点円の反転像は直線 $RS$ である。ゆえに九点円は内接円及び傍接円と接する。

相似による証明
次の証明では、三角形の相似を利用して内心と九点円中心の距離を計算する^[43]。 $△ ABC$ の外心、内心、垂心、九点円中心をそれぞれ $O, I, H, N$ 、外接円半径と内接円半径をそれぞれ $R, r$ 、 $A$ から $BC$ に降ろした垂線の足を $P$ 、 $BC$ と内接円の接点を $Q$ 、 $BC, AH$ の中点をそれぞれ $M, D$ とする。 $∠ A$ の二等分線が三角形の外接円と再び交わる点は弧 $BC$ の中点 $U$ である（南極定理参照）。トリリウムの定理から $AI \times IU = 2 Rr$ 、 $∠ PAU = ∠ OUA = ∠ UAO$ 。 $OH, DM$ の中点はともに $N$ であるので $AD = OM$ 。ゆえに $AO, DM$ は平行。 $N$ から $BC$ に降ろした垂線の足を $X$ 、半直線 $NX$ と九点円の弧 $PM$ の交点を $Y$ とする。 $\angle PMY={\frac {1}{2}}\angle PKY={\frac {1}{2}}\angle PAO.$ $I$ を通る $BC$ の平行線とそれぞれ $AH, OM$ の交点を $Z, W$ として、 $ZI = PQ, WI = MQ$ 。 $△ AZI$ と $△ MXY$ と $△ UWI$ は相似なので ${\begin{matrix}IZ:IA=QP:IA=XY:YM\\WI:IU=MQ:IU=XY:YM\\\therefore PQ\cdot MQ:AI\cdot IU=XY^{2}:YM^{2}\end{matrix}}$ $AI \times IU = 2 Rr$ と、 $△ DYM$ と $△ MXY$ の相似による式 $YM^{2}=R\cdot XY$ より、 ${\begin{matrix}PQ\cdot MQ=2rXY\\MX^{2}-XQ^{2}=2rXY\end{matrix}}$ 今、ピタゴラスの定理より、 ${\begin{matrix}IN^{2}=(NX-r)^{2}+XQ^{2}\\=(NX-r)^{2}+MX^{2}-2rXY\\=NX^{2}+MX^{2}-2r(NX+XY)+r^{2}\\={\frac {1}{4}}R^{2}-rR+r^{2}\\=({\frac {R}{2}}-r)^{2}\end{matrix}}$ オイラーの不等式 $R ≧ 2 r$ より $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}R /2 - r ≧ 0$ なので $IN={\frac {R}{2}}-r$ よって九点円と内接円は接する。相似などを用いた円の中心の距離の計算による証明は上記の方法以外にもいくつかの方法がある（出典^[44]などを参照せよ）。

相似による証明

次の証明では、三角形の相似を利用して内心と九点円中心の距離を計算する^[43]。

$△ ABC$ の外心、内心、垂心、九点円中心をそれぞれ $O, I, H, N$ 、外接円半径と内接円半径をそれぞれ $R, r$ 、 $A$ から $BC$ に降ろした垂線の足を $P$ 、 $BC$ と内接円の接点を $Q$ 、 $BC, AH$ の中点をそれぞれ $M, D$ とする。

$∠ A$ の二等分線が三角形の外接円と再び交わる点は弧 $BC$ の中点 $U$ である（南極定理参照）。

トリリウムの定理から $AI \times IU = 2 Rr$ 、 $∠ PAU = ∠ OUA = ∠ UAO$ 。

$OH, DM$ の中点はともに $N$ であるので $AD = OM$ 。ゆえに $AO, DM$ は平行。

$N$ から $BC$ に降ろした垂線の足を $X$ 、半直線 $NX$ と九点円の弧 $PM$ の交点を $Y$ とする。

\angle PMY={\frac {1}{2}}\angle PKY={\frac {1}{2}}\angle PAO.

$I$ を通る $BC$ の平行線とそれぞれ $AH, OM$ の交点を $Z, W$ として、 $ZI = PQ, WI = MQ$ 。 $△ AZI$ と $△ MXY$ と $△ UWI$ は相似なので

{\begin{matrix}IZ:IA=QP:IA=XY:YM\\WI:IU=MQ:IU=XY:YM\\\therefore PQ\cdot MQ:AI\cdot IU=XY^{2}:YM^{2}\end{matrix}}

$AI \times IU = 2 Rr$ と、 $△ DYM$ と $△ MXY$ の相似による式 $YM^{2}=R\cdot XY$ より、

{\begin{matrix}PQ\cdot MQ=2rXY\\MX^{2}-XQ^{2}=2rXY\end{matrix}}

今、ピタゴラスの定理より、

{\begin{matrix}IN^{2}=(NX-r)^{2}+XQ^{2}\\=(NX-r)^{2}+MX^{2}-2rXY\\=NX^{2}+MX^{2}-2r(NX+XY)+r^{2}\\={\frac {1}{4}}R^{2}-rR+r^{2}\\=({\frac {R}{2}}-r)^{2}\end{matrix}}

オイラーの不等式 $R ≧ 2 r$ より $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}R /2 - r ≧ 0$ なので

IN={\frac {R}{2}}-r

よって九点円と内接円は接する。

相似などを用いた円の中心の距離の計算による証明は上記の方法以外にもいくつかの方法がある（出典^[44]などを参照せよ）。

シムソン線による証明
シムソン線による特徴づけを用いた解法も存在する^[45]。 $△ ABC$ の外心 $O$ と内心 $I$ を結ぶ直線と外接円の交点を $P, P'$ 、 $P, P'$ からそれぞれ各辺に降ろした垂線の足を $X, Y, Z, X', Y', Z'$ 、 $P, P'$ のシムソン線 $XYZ, X'Y'Z'$ の交点を $R$ 、各辺の中点をそれぞれ $L, M, N$ 、内接円と各辺の接点を $L', M', N'$ とする。 $OP = OP', LX = LX'$ である。 $R$ は九点円上にある。シムソン線 $XYZ, X'Y'Z'$ は垂直に交わるから、 $LX = LX' = LR$ 。平行線と比の定理より、 $OP : OI = LX : LL' = LR : LL'$ 。したがって $LR : LL' = MR : MM' = NR : NN'$ 。ここで、ある2円について、方べきの比が一定な点の軌跡は2円の共軸円である。2円を内接円と点円 $R$ とすると、九点円は内接円と点円 $R$ の共軸円である。今、 $R$ は九点円上にあるから、根軸は $R$ における九点円の接線であり、内接円もこの接線に接する。ゆえに内接円と九点円は $R$ で接する。

シムソン線による証明

シムソン線による特徴づけを用いた解法も存在する^[45]。

$△ ABC$ の外心 $O$ と内心 $I$ を結ぶ直線と外接円の交点を $P, P'$ 、 $P, P'$ からそれぞれ各辺に降ろした垂線の足を $X, Y, Z, X', Y', Z'$ 、 $P, P'$ のシムソン線 $XYZ, X'Y'Z'$ の交点を $R$ 、各辺の中点をそれぞれ $L, M, N$ 、内接円と各辺の接点を $L', M', N'$ とする。

$OP = OP', LX = LX'$ である。 $R$ は九点円上にある。シムソン線 $XYZ, X'Y'Z'$ は垂直に交わるから、 $LX = LX' = LR$ 。

平行線と比の定理より、 $OP : OI = LX : LL' = LR : LL'$ 。したがって $LR : LL' = MR : MM' = NR : NN'$ 。

ここで、ある2円について、方べきの比が一定な点の軌跡は2円の共軸円である。2円を内接円と点円 $R$ とすると、九点円は内接円と点円 $R$ の共軸円である。今、 $R$ は九点円上にあるから、根軸は $R$ における九点円の接線であり、内接円もこの接線に接する。ゆえに内接円と九点円は $R$ で接する。

接線の一致を示す証明
$△ ABC$ の内接円と $BC$ の接点を $Q$ 、 $∠ A$ の二等分線と $BC$ の交点を $R$ 、 $BC$ の中点を $M$ 、 $A$ から $BC$ に降ろした垂線の足を $P$ 、 $R$ を通り $BC$ とは異なる内接円の接線の内接円との接点を $S$ 、 $MS$ が内接円と再び交わる点を $T$ 、 $M$ における九点円の接線を $MK$ とする。 $∠ KMB = ∠ SRB = ∠ B - ∠ C$ より、 $MK$ と $RS$ は平行。 $MQ 2 = MR \times MP = MS \times MT$ より、 $P, R, S, T$ は共円。ゆえに $∠ MTP = ∠ SRM = ∠ KMB$ 。したがって $T$ は九点円上にある。さらに、 $K$ を $∠ KMT = ∠ KTM$ となるように配置すると、 $KT$ は内接円及び九点円の接線となる。したがって、内接円と九点円は $T$ で接する^[46]。

接線の一致を示す証明

$△ ABC$ の内接円と $BC$ の接点を $Q$ 、 $∠ A$ の二等分線と $BC$ の交点を $R$ 、 $BC$ の中点を $M$ 、 $A$ から $BC$ に降ろした垂線の足を $P$ 、 $R$ を通り $BC$ とは異なる内接円の接線の内接円との接点を $S$ 、 $MS$ が内接円と再び交わる点を $T$ 、 $M$ における九点円の接線を $MK$ とする。

$∠ KMB = ∠ SRB = ∠ B - ∠ C$ より、 $MK$ と $RS$ は平行。 $MQ 2 = MR \times MP = MS \times MT$ より、 $P, R, S, T$ は共円。ゆえに $∠ MTP = ∠ SRM = ∠ KMB$ 。したがって $T$ は九点円上にある。

さらに、 $K$ を $∠ KMT = ∠ KTM$ となるように配置すると、 $KT$ は内接円及び九点円の接線となる。したがって、内接円と九点円は $T$ で接する^[46]。

一般化

フォイエルバッハの定理の一般化・拡張もまた様々なものが知られている。

ロビンソン

1857年、ジョン・ジョシュア・ロビンソンは The Lady's and Gentleman's Diary で次の定理を示した^[47]。

三角形の内接円及び傍接円の根心4つを取り、これら根心からなる三角形の内接円と傍接円の根心を取る。このような操作を繰り返して得られるすべての円は、最初の三角形の九点円に接する。

ハート

→詳細は「ハートの定理」を参照

1861年、アンドルー・サール・ハートは、六円定理を九円定理に拡張するように、3辺が直線でなくともよいことを示した^[48]。ハートの定理は、ラーモアの示した定理の様に、非ユークリッド平面上の三角形の4つの外接円がある円に接するということに他ならない^[49]。

フォントネー

→詳細は「フォントネーの定理」を参照

次の定理は、1867年にグリフィス^[50]、1880年にヴェイユ^[51]、1889年にW. S. マッケイ^[52]、1905年にジョルジュ・フォントネー^[53]が示したものである^[54]。

点

P

とその等角共役点

P'

と三角形の外心が共線ならば、

P, P'

の垂足円は九点円に接する^[55]。

$P$ を内心か傍心とすればフォイエルバッハの定理となる。 $P, P'$ が外心と共線になるような $P$ はマッケイ三次曲線上にある。

一般に、等角共役な2点 $P, P'$ の垂足円と九点円の2交点は、三角形の3頂点とそれぞれ $P, P'$ を通る直角双曲線の中心である^[56]。

ロジャース

1930年、レナード・ジェームズ・ロジャースは、Mathematical Gazette において、円錐曲線の連合準円を用いて、一般化を行った^[57]。1897年にV・ラマスワミ・エイヤールも、同様の結果を導出している^[58]。

三角形の内接円錐曲線と、その円錐曲線と焦点を共有する外心を通る円錐曲線の連合準円は九点円に接する。

内接円錐曲線の2焦点が外心と共線であるとき、フォントネーの定理を得る^{[注釈 6]}。

荻野修作は、フォントネーの定理やロジャースの定理の拡張を2つ示している^[60]。次はその1つ目の定理である。

三角形の外心と九点円の中心をそれぞれ

O, N

とする。焦点を

P, Q

とする内接円錐曲線

Γ

について、

∠ POQ

における等角共役線

l, l'

を書く。

Γ

と

Γ

に共焦点で

l, l'

に接する円錐曲線の連合準円と、九点円の交点

X, Y

は

l, l'

の直極点である。さらに、直線

NX, NY

の成す角は

l, l'

の成す角の2倍の角に等しい。

$l, l'$ の成す角が、0, 180度ならば、ロジャースの定理を得る。 $l, l'$ が $OP, OQ$ に一致すれば、1907年にペレット^[61]、1933年にフランク・モーリーが著書 Inversive Geometry で示した^[62]、フォントネーの定理の拡張になる。ペレットによれば、このとき $X, Y$ は、それぞれ中点三角形に内接し $OP, OQ$ を準線とする放物線の焦点である。

ラオー

次の定理は1927年、M. Bhimasena Rao（ラオー）がインド数学会（英語版）の雑誌 The Journal of the Indian Mathematical Society（JIMS）で発表したものである^[63]。

点

P

とその等角共役点

P'

と類似重心が共線ならば、それぞれ

P, P'

を中心とする内接円錐曲線と辺の接点を通る円は九点円と接する。

$P$ を内心か傍心とすれば、フォイエルバッハの定理を得る。逸見伝三郎、濱田隆資らは、この定理の拡張を示している^[64]。また、 $P, P'$ が類似重心と共線になるような $P$ はグリーブ三次曲線K102上にある^[65]。

ラオーなどJIMSへの寄稿者はまた、他にもフォイエルバッハの定理に関する定理を多く残している^[66]。次の定理はその一例^[67]。

点

P

の垂足円が九点円に接するとき

∠ PAB + ∠ PBC + ∠ PCA = 90°

^{[注釈 7]}

ハミルトン

ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、2つの内接円錐曲線の第四共通接線（3辺と異なる接線）と三線極線を用いて拡張を行った^[70]。

2つの内接円錐曲線

U, V

について、

U

と三角形の配景の中心を

O

とする。

U

と3辺とのそれぞれの接点と、

V

と

O

の三線極線の2交点（虚でもよい）を通る円錐曲線

S

は、

U

と

V

の第四共通接線と

V

の接点で

V

に接する。

$U$ をシュタイナーの内接楕円、 $V$ を内接円としたとき、 $O$ は重心、 $O$ の三線極線は無限遠直線で、 $S$ は2つの虚円点を通るため円になって、フォイエルバッハの定理が導かれる。

$O$ を重心、 $V$ を放物線とすると、1939年にデ・チッコが得た定理^[71]となる。

この性質から、フォイエルバッハ点は、シュタイナーの内接楕円と内接円の第四共通接線と内接円の接点であることが分かる^[72]。

ヴォンドラチェク

1933年、ヴォンドラチェクは円錐曲線の交点を用いて一般化した^[73]。

3つの直線に接するかつ共通の2点を通る4つの円錐曲線を用意する。この4つの円錐曲線に接するかつその2点を通る円錐曲線が存在する。

ブリカール

1907年、ラウル・ブリカールは、Nouvelles Annales de Mathématiques において、有向直線を用いた拡張を発表した^[74]。

3対の平行な同じ向きの有向直線

(A 1, B 1), (A 2, B 2), (A 3, B 3)

について、

(A 1, A 2, A 3), (A 1, B 2, B 3), (B 1, A 2, B 3), (B 1, B 2, A 3)

に接する同じ向きの有向円は、ある一つの有向円に接する。

$B 1, B 2, B 3$ の成す三角形を中点三角形にすると、フォイエルバッハの定理を得る。この定理は1892年にアレクサンダー・ラーモアが示した、ハートの定理に幾何学的変換を行って得られる定理と双対的である^[75]。

濱田

1943年、東北数学雑誌において濱田隆資は根円を用いて拡張を行った^[76]。2021年には、Tran Quang HungとNguyen Thi Thuy Duongも同様の定理を得ている^[77]。

任意の点

P

の垂足三角形を

△ P a P b P c

とする。

BC, CA, AB

の中点を中心とし、それぞれ

P a, P b, P c

を通る円の根円は九点円に接する。

1925年、J. P. Gabbattは、一般に任意の点 $P, Q$ の辺に対する垂足を反転によって移すような、辺の中点を中心とする3円の根円と、九点円の2交点は、 $P, Q$ と外心を結ぶ直線の直極点であることを示した^[78]。更に、3円の中心が、辺の中点以外（外心以外の垂足三角形の頂点）では成立しないことも示している。

グエンとレ

2023年、Nguyen Ngoc GiangとLe Viet Anは3つの一般化を示した^[79]。次の定理はその一つである。

△ ABC

とその垂心でないかつ辺上、外接円上にない任意の点

P

について、

PB, PC

における

A

の直交射影を結ぶ直線を

l a

として、

l b, l c

も同様に定義する。

l a, l b, l c

から成る三角形の外接円は、

P

の垂足円に接する。

モーリー

1916年、フランク・モーリーは雑誌 Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America において、三級曲線（任意の点から実あるいは虚の接線を3本引くことができる代数曲線）への拡張を発表した^[80]。

垂心系（英語版）を成す4点を結ぶすべての直線に接する、かつ2つの虚円点を通る三級曲線は、垂心系の作る三角形の九点円に接する。

三級曲線を内接円（傍接円）と垂心の和集合とすれば、フォイエルバッハの定理となる。

マルグーズー

1919年、マルグーズー（Malgouzou）は、三次曲線への拡張を示したが、複雑な手順を要しており、また、ハートの定理のように、直接的な拡張とはなっていない^[81]。

三次曲線

C

と点

O

について、

O

を通る直線

l

が

C

と3点

P, Q, R

で交わっているとする。今、

$({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OP}})({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OQ}})+({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OQ}})({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OR}})+({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OR}})({\dfrac {1}{OX}}-{\dfrac {1}{OP}})=0$

を満たす点

X

が2つ存在する。

l

を動かしたとき、

X

の軌跡は極円錐曲線と呼ばれる円錐曲線になる。さらにある定直線

L

に極円錐曲線が接するように

O

を動かしたとき、

O

の軌跡はPoloconicと呼ばれる円錐曲線になる。Poloconicが円となるような

L

は4つ存在するが、このときの4円は、一つの円に接する。

$C$ が3直線へ退化したとき、フォイエルバッハの定理を間接的に得る。Gabbattはマルグーズーの一般化をさらに空間へ一般化している^[82]。

ユークリッド空間^[83]や、双曲平面などの非ユークリッド平面^[84]、ミンコフスキー平面^[85]、ヒルベルト平面^[5]、あるいは九点円錐曲線^[86]などへの拡張なども示されている。

脚注

注釈

↑ 参考文献の中には、「正三角形を除き」のような文言を書いていないものも少なくない（一般の位置（英語版）を暗に仮定している）。
↑ $△ ABC$ の垂心を $H$ とすると、 $△ BCH$ の辺の各中点は、 $BC, BH, CH$ の各中点であるから、 $△ ABC$ と $△ BCH$ の九点円は一致する。同様に $△ CAH$ 、 $△ ABH$ の九点円も一致することが分かる。
↑ 1886年、証明の誤りがLangeによって訂正されている^[26]。
↑ 円点投影法とも訳される。空間の直交座標系の $xy$ 平面において、中心 $(x ,y)$ 、半径 $r$ の有向円を点 $(x , y , r)$ に対応させる手法^[27]。
↑ 森本清吾による澤山の論文をまとめた書籍『澤山勇三郎全集』によれば、澤山は『東京物理学校雑誌』に発表した証明の中で、ケイシーの定理や解析幾何学を用いたものには番号を付けなかった。
↑ 三角形の任意の内接円錐曲線の2つの焦点は等角共役の関係にある。円錐曲線とその2焦点を通る直線の連合準円は円錐曲線の補助円（Auxiliary Circle;大副円, 副円）となり、等角共役点を焦点とする内接円錐曲線の補助円は垂足円であることから従う。また、虚焦点が外心と共線、つまり円錐曲線の短軸上に外心が存在するときは、内接円錐曲線の小副円（Minor auxiliary Circle）が九点円と接する^[59]。
↑ 一般に、 $P$ の垂足円と九点円（の交点における接線）が成す角は $∠ PBC + ∠ PCA + ∠ PAB \pm 90°$ である^[68]。この角が一定であるとき $P$ の軌跡は種数1の6級代数曲線である^[69]。

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外部リンク

『フォイエルバッハの定理と計算による証明』 - 高校数学の美しい物語
Weisstein, Eric W. "Feuerbach's theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
Feuerbach's Theorem: What Is It About? - Cut The Knot
“Feuerbach's Theorem”. Proof wiki. 2024年12月1日閲覧。
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フォイエルバッハの定理

主張

歴史

証明

一般化

ロビンソン

ハート

フォントネー

ロジャース

ラオー

ハミルトン

ヴォンドラチェク

ブリカール

濱田

グエンとレ

モーリー

マルグーズー

脚注

注釈

出典

参考文献

The Mathematical Gazette

他

関連項目

外部リンク

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