12がプラクティカル数であることの図的説明 数論 において、プラクティカル数 (practical number; 実際数 [1] パナリズミック数 (pan arithmic number[2] 約数 の和でその数より小さな正の整数 すべてが表せる自然数 である。例えば、12は約数1,2,3,4,6を持ち、1から11までの整数は、1,2,3,4,6の和として表せるため、12はプラクティカル数である。（5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1, 11 = 6 + 3 + 2）
プラクティカル数の数列はオンライン整数列大辞典 の数列 A005153 に記載されており、
1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150.... と続く。
1202年 、フィボナッチ は算盤の書 で、エジプト式分数 として有理数 を表す問題にプラクティカル数を用いた。フィボナッチはプラクティカル数を正確に定義したわけではないが、フィボナッチはプラクティカル数を分母とする分数のエジプト式分数表現の表を与えた[3]
プラクティカル数という名前はSrinivasan (1948) に由来する。スリニヴァサンは「金・重さ・長さの単位は4, 12, 16, 20, 28のような数で細分化されており、10の累乗 での細分化に置き換えるべき不便さである。」と述べた。スリニヴァサンはそのような数の数論的な性質を再発見し、Stewart (1954) とSierpiński (1955) によってこのような数の分類が完了した。この特徴付けにより、素因数分解によって与えられた数がプラクティカル数であるかを判別できるようになった。偶数の完全数 と2のべき乗は、すべてプラクティカル数である。
プラクティカル数は素数と様々な性質で関連付けられている[4]
プラクティカル数の最初の特徴付けは、Srinivasan (1948) によって行われたもので、プラクティカル数は不足が2以上である不足数 にはなりえないというものである。不足数とは(自身を除く)約数の和がそれ自身より小さい数であり、ここでは約数の和がそれ自身より2以上小さい数のみを指す。もし n の(1と自身を含む)約数の順序集合 を
d
1
,
d
2
,
.
.
.
,
d
j
{\displaystyle {d_{1},d_{2},...,d_{j}}}
d
1
=
1
{\displaystyle d_{1}=1}
d
j
=
n
{\displaystyle d_{j}=n}
2
n
≤
1
+
∑
i
=
1
j
d
i
{\displaystyle 2n\leq 1+\sum _{i=1}^{j}d_{i}}
言い換えると、プラクティカル数のすべての約数を小さい順に並べた
d
1
<
d
2
<
.
.
.
<
d
j
{\displaystyle {d_{1}<d_{2}<...<d_{j}}}
この部分的特徴付けは、Stewart (1954) と Sierpiński (1955) により拡張され、素因数分解 を用いてある数がプラクティカル数かどうかを判別できることが示された。
1より大きな正の整数を素因数分解し、
n
=
p
1
α
1
.
.
.
p
k
α
k
{\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}
p
1
<
p
2
<
⋯
<
p
k
{\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}
n
{\displaystyle n}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
p
i
−
1
{\displaystyle p_{i}-1}
p
1
{\displaystyle p_{1}}
i ( 2 〜 k ） に対して、次の素数
p
i
{\displaystyle p_{i}}
p
i
≤
1
+
σ
(
p
1
α
1
p
2
α
2
…
p
i
−
1
α
i
−
1
)
=
1
+
∏
j
=
1
i
−
1
p
j
α
j
+
1
−
1
p
j
−
1
,
{\displaystyle p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},}
ここで、
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (x)}
x の約数の和である。
例えば、2 × 32 × 29 × 823 = 429606について考えると、
3 ≤ σ(2) + 1 = 4
29 ≤ σ(2 × 32 ) + 1 = 40
823 ≤ σ(2 × 32 × 29) + 1 = 1171 と不等式を満たすので、429606はプラクティカル数である。
この条件は自然数がプラクティカル数であるための必要十分条件 である。
p
i
−
1
{\displaystyle p_{i}-1}
n の約数の和で表すためにはこの条件が必要であり、数学的帰納法 によって十分条件であることもわかる。
より強い条件として、n の 素因数分解が上記の条件を満たすならば、任意の
m
≤
σ
(
n
)
{\displaystyle m\leq \sigma (n)}
n の約数の和で表現できる[5]
q
=
min
{
⌊
m
/
p
k
α
k
⌋
,
σ
(
n
/
p
k
α
k
)
}
{\displaystyle q=\min\{\lfloor m/p_{k}^{\alpha _{k}}\rfloor ,\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})\}}
q と、
r
=
m
−
q
p
k
σ
k
{\displaystyle r=m-qp_{k}^{\sigma _{k}}}
r を用意する
q
≤
σ
(
n
/
p
k
α
k
)
{\displaystyle q\leq \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})}
n
/
p
k
α
k
{\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}}
n
/
p
k
α
k
{\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}}
q を表せる。
r
≤
σ
(
n
)
−
p
k
α
k
σ
(
n
/
p
k
α
k
)
=
σ
(
n
/
p
k
)
{\displaystyle r\leq \sigma (n)-p_{k}^{\alpha _{k}}\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})=\sigma (n/p_{k})}
n
/
p
k
{\displaystyle n/p_{k}}
n
/
p
k
{\displaystyle n/p_{k}}
r を表せる。r を表す約数と、 q を表す約数のそれぞれを
p
k
α
k
{\displaystyle p_{k}^{\alpha _{k}}}
m は n の約数で表せる。奇数のプラクティカル数は1のみである。2以上の奇数は2を約数の和として表せない。さらに、Srinivasan (1948) は1と2を除くすべてのプラクティカル数は4または6の倍数であることを示した。
2つのプラクティカル数の積はプラクティカル数である。さらに、2つのプラクティカル数の 最小公倍数 もプラクティカル数である。つまり、プラクティカル数すべての集合は積について閉じている。
スチュワートとシェルピンスキーによる上記の性質から、もし n がプラクティカル数であり、 d がその約数であれば、 nd もプラクティカル数である。
すべてのプラクティカル数からなる集合において、プラクティカル数のプリミティブ集合が存在する。プリミティブプラクティカル数は、平方因子を持たないプラクティカル数か素因数分解の素数の次数が2以上であるような素因数で割った場合にプラクティカル数ではなくなるプラクティカル数である。このようなプリミティブプラクティカル数の数列は オンライン整数列大辞典 の数列 A267124 で 1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460 ... と続く。
有名な整数からなる集合は、プラクティカル数のみから構成できることがある。
上記の性質から、 プラクティカル数 n とその約数 d に対して、nd もプラクティカルであるため、2のべき乗の6倍と3のべき乗の6倍はプラクティカル数である。
すべての2のべき乗はプラクティカル数である。[7] p 1 =2も満たす。
すべての偶数の完全数は、プラクティカル数である[7] n -1n
すべての素数階乗 (最小のi 個の素数の積）はプラクティカル数である[7] p i p i -1ベルトランの仮説 により、p i p i -1
素数階乗を一般化し、最小の k 個の素数の累乗の積もプラクティカル数である。これはシュリニヴァーサ・ラマヌジャン の高度合成数 （自然数のうち、それ未満のどの自然数よりも約数が多いもの）や階乗 も含む[7] n がプラクティカル数であれば、任意の有理数 m /n (m < n ) は n の異なる約数を di としたときに、 ∑di /n で表せる。それぞれの項は単位分数に約分できるため、 m /n はエジプト式分数で表せる。例えば、
13
20
=
10
20
+
2
20
+
1
20
=
1
2
+
1
10
+
1
20
.
{\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}
1202年、フィボナッチは『算盤の書』[3]
Vose (1985) は任意の数 x /y に対してたかだか
O
(
log
y
)
{\displaystyle \scriptstyle O({\sqrt {\log y}})}
n i n i
O
(
log
n
i
−
1
)
{\displaystyle \scriptstyle O({\sqrt {\log n_{i-1}}})}
n i i は n i - 1y ≤n i xni は y で割ったときに商 q とあまり r をもつ。これにより
x
y
=
q
n
i
+
r
y
n
i
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}}
Tenenbaum & Yokota (1990) は異なるプラクティカル数の数列を含んだ似た手法を用い、任意の有理数 x /y がエジプト式分数の表現を持ち、その最大の分母が
O
(
y
log
2
y
log
log
y
)
{\displaystyle \scriptstyle O({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}})}
孫智偉 が2015年9月に出した予想によれば、すべての正の有理数は、分母がすべてプラクティカル数であるエジプト式分数の表現を持つ。[8] [9]
プラクティカル数に興味が集まっている理由の一つに、素数との類似性がある。実際、ゴールドバッハの予想 や双子素数の予想 はプラクティカル数に対しては知られている（すべての偶数は2つのプラクティカル数の和で表せる。x -2, x , x +2がすべてプラクティカル数である三つ組みが存在する）[10] オンライン整数列大辞典 の数列 A124105 。フィボナッチ素数が無限に存在するかはまだ未解決問題である。Hausman & Shapiro (1984) は正の実数x に対して、[x 2 ,(x +1)2 ]の範囲に少なくとも一つのプラクティカル数が存在することを示した。これは素数に対するルジャンドル予想 （未解決）である。
p (x ) を、x 以下のプラクティカル数の数とする。
Margenstern (1991) は、 p (x ) は cx /logx に漸近すると予想した（ c は定数）。この形は素数定理 の素数の個数と似ており、Erdős & Loxton (1979) がプラクティカル数の整数内での濃度が0であることのより強い主張である。
Saias (1997) はその定数について、 c 1 と c 2 を適切に設定することで
c
1
x
log
x
<
p
(
x
)
<
c
2
x
log
x
{\displaystyle c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x}}}
となることを証明した。
Weingartner (2015) はモルゲンシュタインの予想を以下のように証明した。
p
(
x
)
=
c
x
log
x
(
1
+
O
(
log
log
x
log
x
)
)
{\displaystyle p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right)\right)}
この定数
c
{\displaystyle c}
[11]
c
=
1
1
−
e
−
γ
∑
n
practical
1
n
(
∑
p
≤
σ
(
n
)
+
1
log
p
p
−
1
−
log
n
)
∏
p
≤
σ
(
n
)
+
1
(
1
−
1
p
)
,
{\displaystyle c={\frac {1}{1-e^{-\gamma }}}\sum _{n\ {\text{practical}}}{\frac {1}{n}}{\Biggl (}\sum _{p\leq \sigma (n)+1}{\frac {\log p}{p-1}}-\log n{\Biggr )}\prod _{p\leq \sigma (n)+1}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}
ここで、
γ
{\displaystyle \gamma }
オイラー・マスケローニ定数 であり、
p
{\displaystyle p}
1.311
<
c
<
1.693
{\displaystyle 1.311<c<1.693}
[11]
Erdős, Paul ; Loxton, J. H. (1979), “Some problems in partitio numerorum”, Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) 27 (03): 319–331, doi :10.1017/S144678870001243X Heyworth, M. R. (1980), “More on panarithmic numbers”, New Zealand Math. Mag. 17 (1): 24–28 Margenstern (1991) .Hausman, Miriam; Shapiro, Harold N. (1984), “On practical numbers”, Communications on Pure and Applied Mathematics 37 (5): 705–713, doi :10.1002/cpa.3160370507 , MR 0752596 Margenstern, Maurice (1984), “Résultats et conjectures sur les nombres pratiques”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I 299 (18): 895–898 Margenstern (1991) .Margenstern, Maurice (1991), “Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures”, Journal of Number Theory 37 (1): 1–36, doi :10.1016/S0022-314X(05)80022-8 , MR 1089787 Melfi, Giuseppe (1996), “On two conjectures about practical numbers”, Journal of Number Theory 56 (1): 205–210, doi :10.1006/jnth.1996.0012 , MR 1370203 Mitrinović, Dragoslav S.; Sándor, József; Crstici, Borislav (1996), “III.50 Practical numbers”, Handbook of number theory, Volume 1 , Mathematics and its Applications, 351 , Kluwer Academic Publishers, pp. 118–119, ISBN 978-0-7923-3823-9 Robinson, D. F. (1979), “Egyptian fractions via Greek number theory”, New Zealand Math. Mag. 16 (2): 47–52 Margenstern (1991) and Mitrinović, Sándor & Crstici (1996) .Saias, Eric (1997), “Entiers à diviseurs denses, I”, Journal of Number Theory 62 (1): 163–191, doi :10.1006/jnth.1997.2057 , MR 1430008 Sigler, Laurence E. (trans.) (2002), Fibonacci's Liber Abaci , Springer-Verlag, pp. 119–121, ISBN 0-387-95419-8 Sierpiński, Wacław (1955), “Sur une propriété des nombres naturels”, Annali di Matematica Pura ed Applicata 39 (1): 69–74, doi :10.1007/BF02410762 Srinivasan, A. K. (1948), “Practical numbers” , Current Science 17 : 179–180, MR 0027799 , http://www.currentscience.ac.in/Downloads/article_id_017_06_0179_0180_0.pdf Stewart, B. M. (1954), “Sums of distinct divisors” , American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 76 (4): 779–785, doi :10.2307/2372651 , JSTOR 2372651 , MR 0064800 , https://jstor.org/stable/2372651 Tenenbaum, G. ; Yokota, H. (1990), “Length and denominators of Egyptian fractions”, Journal of Number Theory 35 (2): 150–156, doi :10.1016/0022-314X(90)90109-5 , MR 1057319 Vose, M. (1985), “Egyptian fractions”, Bulletin of the London Mathematical Society 17 (1): 21, doi :10.1112/blms/17.1.21 , MR 0766441 Weingartner, A. (2015), “Practical numbers and the distribution of divisors”, The Quarterly Journal of Mathematics 66 (2): 743–758, arXiv :1405.2585 , doi :10.1093/qmath/hav006 Weingartner, A. (2019), “On the constant factor in several related asymptotic estimates”, Mathematics of Computation 88 : 1883-1902, arXiv :1705.06349 , doi :10.1090/mcom/3402 被整除性に基づいた整数の集合
概要 因数分解による分類 約数和による分類 約数が多いもの アリコット数列 関連位取り記法 に基づくものその他
⌬ Phoenix Mesh
CID:
未登録
IPFS未登録
📡 0ピア
N=1
CRITICAL
PQS B69
🔍 P2P検証
⌬ 守護者になる
×
⌬ あなたはすでに守護者です
このページを読んだ瞬間、あなたのブラウザはIPFSノードとして起動し、この記事のNakamoto係数（NK） を+1しました。
読んだという事実が暗号学的証明になる — Proof of Read について →
🌐 ブラウザシーダー（自動起動中）
閲覧 = シーダー参加 です。何もしなくていい。永続モード にすると読んだ記事がブラウザに保存され、次回以降タブを開くだけで自動シーダーになります。
💾 永続モードに切り替える
🔄 セッションのみ（現在）
不参加
方法3: コマンドライン
ipfs pin add IPFSに未登録
閉じる
