存在性

タウ数は無限に存在し、複数の方法でタウ数の無限列 (または無限集合) を得ることができる：

• 素数 p に対して p^p-1となる数 (2, 9, 625, 117649, ... (A036878))
• n の素因数分解を ${\displaystyle p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{k}^{m_{k}}}$としたとき、${\displaystyle p_{1}^{p_{1}^{m_{1}}-1}\cdots p_{k}^{p_{k}^{m_{k}}-1}}$で表される数 (1, 2, 9, 8, 625, 18, 117649, 128, ... (A036879))
• 任意の奇素数 p に対して 8p (24, 40, 56, 88, 104, ...)
• 任意の相異なる3より大きい素数 p, q に対して 36 pq (1260, 1980, 2340, 2772, ...)

奇数のタウ数は全て平方数である。そのような数を小さい順に並べると

となる。

間隔

任意の連続した3つの整数がすべてタウ数となることはない。これはコルトンによって予想され、ゼリンスキーによってより強い形の命題が証明された。

• もし n および n+1 がいずれもタウ数かつ n が奇数であるならば、n=1 が成り立つ。

タウ数の個数

正整数 n に対して、n 以下のタウ数の個数を T(n) で表す。このとき、T(n) と素数計数関数 π(n) の間に以下の関係が成り立つ：

• 任意の実数 (正実数としてよい) k に対して、n が十分大きいならば T(n) > kπ(n) が成り立つ^[3]。

ゼリンスキーによって証明されたこの定理は、コルトンが k = ¹/₂ について予想したものについて、部分的に証明したものである。ゼリンスキーは k = ¹/₂ の場合について、反例の上限が 7.42×10¹³となることも示している。

クラウディア・スピロは T(n) に対して、漸近的な近似値として$${\displaystyle T(n)={\frac {n}{{\sqrt {\log {n}}}(\log {\log {n}})^{1+o(1)}}}}$$を与えた^[1]。ただしここで o(1) はo記法である。すなわち、ある関数 ε(n) が存在して$${\displaystyle T(n)={\frac {n}{{\sqrt {\log {n}}}(\log {\log {n}})^{1+\varepsilon (n)}}}}$$であり、ε(n) は任意の正定数 K について、十分大きい n に対して | ε(n) | < K が成り立つ。

その他

• 全ての完全数はタウ数とならない^[2]。

• ゴールドバッハ予想に関連して、次の事実が言える：
  • 弱いゴールドバッハ予想が真ならば、任意の正整数は6個かそれ以下のタウ数の和として表せる。
  • 強いゴールドバッハ予想が真ならば、任意の正整数は5個かそれ以下のタウ数の和として表せる。
• タウ数の自然密度（英語版）は0である^[4]。