この記事は英語版の対応するページを翻訳することにより充実させることができます。（2024年5月） 翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。 英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Lucas number|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。

リュカ数（リュカすう、英: Lucas number）とは、フランスの数学者エドゥアール・リュカに因んで名付けられた数であり、n 番目のリュカ数を L_n で表すと

${\displaystyle L_{0}=2,\ L_{1}=1,}$

${\displaystyle L_{n+2}=L_{n}+L_{n+1}}$

で定義される数列にある項のことである。つまり、初項（最初のリュカ数）を 2、次の項を 1 と定義し、それ以降の項は前の2つの項の和になっている数列のことである。

最初の50項

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 7881196, 12752043, 20633239, 33385282, 54018521, 87403803, 141422324, 228826127, 370248451, 599074578, 969323029, 1568397607, 2537720636, 4106118243, 6643838879, 10749957122, 17393796001.（オンライン整数列大辞典の数列 A000032）

負の番号への拡張

漸化式 L_n+2 = L_n + L_n+1 を全ての整数 n に対して適用すると、n が負の整数である場合に拡張できる。例えば、-5 ≤ n ≤ 5 に対するリュカ数は次の値になる。

-11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11

さらに、一般には L_-n = (-1)ⁿL_n となる。

数学的性質

リュカ数は、フィボナッチ数と共に自然界に多く存在する。またフィボナッチ数 F_n との間に多くの関係式があり、例として

${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}}$

${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}$

${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$

などが挙げられる。また同じ項番号のフィボナッチ数とリュカ数の比 L_n/F_n は、n が大きくなるにつれて √5 = 2.23606798… に収束する。

フィボナッチ数と同様に、リュカ数も隣接する2項の比 L_n+1/L_n は n が大きくなるにつれて黄金比 ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ = 1.61803398… に近づく。

n 番目のリュカ数は以下の式で表される。

${\displaystyle L_{n}=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}={\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}}}$

ここで ${\displaystyle \varphi }$ は黄金比である。

リュカ素数

リュカ素数（リュカそすう、英: Lucas prime）とは、リュカ数である素数である。

リュカ素数 L_n の最初のいくつかの項は以下の通りである。

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ….（オンライン整数列大辞典の数列 A005479）

L_n の n は以下の通りである。

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, ….（オンライン整数列大辞典の数列 A001606）

n = 0, 4, 8, 16 の場合を除いて、L_n が素数ならば n も素数である^[1]。しかし、n が素数でも、L_n が素数になるとは限らない。

参考文献

• 中村滋『フィボナッチ数の小宇宙（ミクロコスモス）　フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割』日本評論社、2002年9月。ISBN 4-535-78281-4。 
  • 中村滋『フィボナッチ数の小宇宙（ミクロコスモス）　フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割』（改訂版）日本評論社、2008年1月。ISBN 978-4-535-78492-5。 
• Carmichael, R. D. (1913), “On the numerical factors of the arithmetic forms αⁿ±βⁿ”, Annals of Mathematics 15 (1/4): 30-70, doi:10.2307/1967797, JSTOR 1967797, https://jstor.org/stable/1967797 
• Lucas, Edouard (1878), “Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques” (フランス語) (PDF), American Journal of Mathematics (Johns Hopkins University Press) 1 (2): pp.184-240 et 289-321, doi:10.2307/2369308, http://edouardlucas.free.fr/oeuvres/Theorie_des_fonctions_simplement_periodiques.pdf 
  • Lucas, Edouard (1969) (英語) (PDF), The Theory of Simply Periodic Numerical Functions, Translated by Sidney Kravitz, Fibonacci Association, p. 77, http://www.fq.math.ca/simply-periodic.html  - Lucas (1878)の前半の英訳。

脚注

関連項目

• 黄金比
• 数列
• フィボナッチ数
• リュカ数列

外部リンク

• 『リュカ数の意味とおもしろい性質』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Lucas Number". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Lucas Prime". mathworld.wolfram.com (英語).
• The Top Twenty: Lucas Number
• The Prime Glossary: Lucas prime

表 話 編 歴 級数・数列
等差数列	発散級数 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 無限算術級数
等比数列	収束級数 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 発散級数 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ グランディ級数
整数列	オンライン整数列大辞典のリスト 階乗 フィボナッチ数 リュカ数 ペル数 ペラン数 パドヴァン数列 三角数 五角数 六角数 七角数 八角数 九角数 十角数 多角数 平方数 立方数
その他の数列	発散級数 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 調和級数 収束級数 交項級数 幾何級数 超幾何級数 q超幾何級数 ライプニッツの公式
数列の加速法	エイトケンのΔ2乗加速法
カテゴリ:級数・カテゴリ:数列