標準模型の数学的定式化

カイラル理論

ψ は、これとは独立にカイラリティ成分へ分解できる。

ここで ${\displaystyle \gamma _{5}}$ は第5ガンマ行列である。これは標準模型で非常に重要である。というのも、左カイラリティ成分と右カイラリティ成分は、ゲージ相互作用によって異なる扱いを受けるからである。

特に、弱アイソスピンのSU(2)変換のもとでは、左手型粒子は弱アイソスピン二重項であるのに対し、右手型粒子は一重項である。すなわち、ψ_R の弱アイソスピンは0である。より簡単に言えば、弱い相互作用は、例えば左手型電子を左手型ニュートリノへ、W^- の放出を伴って回転させることができるが、同じことを右手型粒子に対しては行えない。なお、右手型ニュートリノは元来の標準模型には存在しなかった。しかしニュートリノ振動の発見はニュートリノが質量をもたなければならないことを意味し、質量をもつ粒子の伝播中にはカイラリティが変化しうるため、現実には右手型ニュートリノが存在しなければならない。ただし、このことは実験的に示されている弱い相互作用のカイラルな性質を変えるものではない。

さらに、U(1) は ${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {L}}}$ と ${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {R}}}$ に異なる形で作用する。これは両者が異なる弱超電荷をもつためである。

質量固有状態と相互作用固有状態

したがって、例えばニュートリノについては、質量固有状態と相互作用固有状態を区別できる。前者は自由空間を伝播する状態であり、後者は相互作用に参加する別の状態である。では、どちらが「基本的」粒子なのだろうか。ニュートリノでは、通常「フレーバー」、すなわち電子ニュートリノ、ミューニュートリノ、タウニュートリノを相互作用固有状態によって定義する。一方、クォークではフレーバー、すなわちアップ、ダウンなどを質量状態によって定義する。これらの状態の間は、クォークではCKM行列、ニュートリノではPMNS行列を用いて変換できる。これに対し、荷電レプトンは質量とフレーバーの両方の固有状態である。

なお、これらいずれかの行列に複素位相項が存在すれば、直接的なCP対称性の破れを引き起こし、現在の宇宙で反物質より物質が優勢であることを説明できる可能性がある。CKM行列についてはこれが実証されており、PMNS行列についても期待されている。

正エネルギーと負エネルギー

最後に、量子場は「正」と「負」のエネルギー部分へ分解されることがある。ψ = ψ⁺ + ψ^-。場の量子論がすでに構成された後ではこの分解はそれほど一般的ではないが、場の理論を量子化する過程ではしばしば重要な役割を果たす。

フェルミ粒子場

ディラック・フェルミ粒子の運動項は $${\displaystyle i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$$ である。記号はこの記事の前の節と同じである。ψ は標準模型の任意のディラック・フェルミ粒子一種、またはそのすべてを表すことができる。一般には、以下で見るように、この項は結合項の中に含められ、全体として「力学的」項を形成する。

ゲージ場

スピン1の場について、まず場の強さテンソルを $${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$$ と定義する。これは与えられたゲージ場、ここでは A、およびゲージ結合定数 g に対する式である。量 $${\displaystyle f^{abc}}$$ は特定のゲージ群の構造定数であり、交換子 $${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c},}$$ によって定義される。ここで t_i はその群の生成元である。ここで用いる U(1) のようなアーベル群、すなわち可換群では、生成元 t_a がすべて互いに可換であるため構造定数はゼロになる。もちろん一般にはそうではなく、標準模型には非可換な SU(2) 群と SU(3) 群が含まれる。このような群はヤン＝ミルズ・ゲージ理論をもたらす。

SU(3) × SU(2) × U(1) の各部分群に対応して、三つのゲージ場を導入する必要がある。

• グルーオン場テンソルを ${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$ と表す。添字 a は色のSU(3)の 8 次元表現の要素を表す。強い結合定数は慣習的に g_s、曖昧さがなければ単に g と書く。標準模型のこの部分の発見につながった観測については量子色力学の記事で論じられている。
• SU(2) のゲージ場テンソルには ${\displaystyle W_{\mu \nu }^{a}}$ という記号を用いる。a はこの群の 3 個の生成元にわたる。結合は g_w、または単に g と表せる。ゲージ場は ${\displaystyle W_{\mu }^{a}}$ と表す。
• 弱超電荷の U(1) に対するゲージ場テンソルは B_μν、結合定数は g′、ゲージ場は B_μ と表す。

すると運動項は $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {kin}}=-{1 \over 4}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} W_{\mu \nu }W^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }}$$ と書ける。ここでトレースは、それぞれ W と G に隠れている SU(2) と SU(3) の添字について取る。二つの添字をもつ量は、ベクトル場 W と G から得られる場の強さである。また、さらに隠れた二つのパラメータとして、SU(2) と SU(3) のシータ角がある。

電弱部門

電弱部門は対称性群 U(1) × SU(2)_L に従って相互作用する。添字 L は左手型フェルミ粒子だけに結合することを示す。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }=\sum _{\psi }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\left(i\partial _{\mu }-g^{\prime }{1 \over 2}Y_{\mathrm {W} }B_{\mu }-g{1 \over 2}{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {W} _{\mu }\right)\psi }$$ ここで B_μ は U(1) ゲージ場、Y_W は弱超電荷、すなわち U(1) 群の生成元、W_μ は3成分の SU(2) ゲージ場である。また τ の成分はパウリ行列、すなわち SU(2) 群の無限小生成元であり、その固有値が弱アイソスピンを与える。弱い力との統一を実現するには、QEDとは異なる弱超電荷の新しい U(1) 対称性を定義し直す必要がある。電荷 Q、弱アイソスピンの第3成分 T₃、これは T_z, I₃ または I_z とも書く、と弱超電荷 Y_W の関係は $${\displaystyle Q=T_{3}+{\tfrac {1}{2}}Y_{\rm {W}},}$$ である。別の規約では Q = T₃ + Y_W とする。この記事で用いる最初の規約は、以前からあるゲルマン・西島の式と同値であり、超電荷を与えられたアイソ多重項の平均電荷の2倍とする。

すると弱アイソスピンの保存カレント（英語版）を $${\displaystyle \mathbf {j} _{\mu }={1 \over 2}{\bar {\psi }}_{\rm {L}}\gamma _{\mu }{\boldsymbol {\tau }}\psi _{\rm {L}}}$$ 弱超電荷の保存カレントを $${\displaystyle j_{\mu }^{Y}=2(j_{\mu }^{\rm {em}}-j_{\mu }^{3})~,}$$ と定義できる。ここで ${\displaystyle j_{\mu }^{\rm {em}}}$ は電流、${\displaystyle j_{\mu }^{3}}$ は第3弱アイソスピンカレントである。上で説明したように、これらのカレントは混合して物理的に観測されるボソンを作り、その結果として結合定数間に実験可能な関係も生じる。

これをより簡単に説明するため、ラグランジアンから項を抜き出して電弱相互作用の効果を見ることができる。SU(2)対称性は ψ に含まれる各左手型フェルミ粒子二重項に作用する。例えば $${\displaystyle -{g \over 2}({\bar {\nu }}_{e}\;{\bar {e}})\tau ^{+}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }{\begin{pmatrix}{\nu _{e}}\\e\end{pmatrix}}=-{g \over 2}{\bar {\nu }}_{e}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }e}$$ である。ここでは粒子は左手型であると理解し、 $${\displaystyle \tau ^{+}\equiv {1 \over 2}(\tau ^{1}{+}i\tau ^{2})={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$$ とする。

これは「弱アイソスピン空間での回転」に対応する相互作用、言い換えれば W^- ボソンの放出を通じた e_L と ν_eL の間の変換である。一方 U(1) 対称性は電磁相互作用に似ているが、中性の Z⁰ を通じて左右両方のすべての「弱超電荷をもつ」フェルミ粒子に作用し、さらに光子を通じて荷電フェルミ粒子にも作用する。

量子色力学部門

量子色力学、QCD、の部門は、T_a によって生成される SU(3) 対称性のもとでクォークとグルーオンの相互作用を定義する。レプトンはグルーオンと相互作用しないため、この部門の影響を受けない。グルーオン場に結合したクォークのディラック・ラグランジアンは $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=i{\overline {U}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }U+i{\overline {D}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }D.}$$ で与えられる。ここで U と D は、それぞれアップ型クォークとダウン型クォークに対応するディラック・スピノルであり、その他の記号は前節と同じである。

質量項

ディラック・ラグランジアンから生じる任意のフェルミ粒子 ψ の質量項は ${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi }$ であり、これは電弱対称性のもとで不変ではない。ψ を左手型成分と右手型成分で書けば、実際の計算を省略して $${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi =-m({\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {R}}+{\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {L}})}$$ となる。つまり ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}}$ と ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}}$ の項からの寄与は現れない。したがって、質量を生み出す相互作用は粒子のカイラリティが絶えず反転することによって実現される。スピン1/2粒子には、同じ SU(2) 表現をもち、かつ大きさが等しく符号が反対の弱超電荷をもつ右カイラリティと左カイラリティの組が存在しない。そのため、これらのゲージ電荷が真空中で保存すると仮定すると、どのスピン1/2粒子もカイラリティを変えることができず、質量ゼロのままでなければならない。さらに、実験的にWボソンとZボソンが質量をもつことは分かっているが、ボソンの質量項には例えば A^μA_μ の組み合わせが含まれ、これは明らかにゲージの選び方に依存する。したがって、標準模型のフェルミ粒子もボソンも最初から質量をもつことはできず、別の機構によって質量を獲得しなければならない。

ヒッグス機構

これら二つの問題はヒッグス機構によって解決される。これはスカラー場を含む機構であり、スカラー場の数はヒッグス機構の具体的な形による。ごく簡単に言えば、これらの場は自由度として質量をもつボソンに「吸収」され、また湯川結合を通じてフェルミ粒子に結合することで、質量項のように見える項を作る。

標準模型では、ヒッグス場は群 SU(2)_L の複素スカラー場である。 $${\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\phi ^{+}\\\phi ^{0}\end{pmatrix}},}$$ ここで上付きの + と 0 は各成分の電荷 Q を表す。両成分の弱超電荷 Y_W は 1 である。

ラグランジアンのヒッグス部分は $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {H}}=\left[\left(\partial _{\mu }-igW_{\mu }^{a}t^{a}-ig'Y_{\phi }B_{\mu }\right)\phi \right]^{2}+\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2},}$$ である。ここで λ > 0 および μ² > 0 なので、自発的対称性の破れの機構を利用できる。ここには、最初はポテンシャルの形の中に隠れている非常に重要なパラメータがある。ユニタリゲージ（英語版）では ${\displaystyle \phi ^{+}=0}$ とし、${\displaystyle \phi ^{0}}$ を実数にできる。このとき ${\displaystyle \langle \phi ^{0}\rangle =v}$ はヒッグス場のゼロでない真空期待値である。${\displaystyle v}$ は質量の次元をもち、標準模型で無次元ではない唯一のパラメータである。また、プランクスケールよりはるかに小さく、ヒッグス質量のおよそ2倍であり、標準模型の他のすべての粒子の質量尺度を定める。これは標準模型において、小さいがゼロではない値への本質的な微調整が必要となる唯一の箇所である。W_μ と B_μ の二次項が生じ、WボソンとZボソンに質量を与える。 $${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\rm {W}}&={\tfrac {1}{2}}vg\\M_{\rm {Z}}&={\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {g^{2}+{g'}^{2}}}\end{aligned}}}$$

ヒッグス粒子自身の質量は ${\textstyle M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.}$ で与えられる。

湯川相互作用

湯川相互作用の項は $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Yukawa}}=(Y_{\text{u}})_{mn}({\bar {q}}_{\text{L}})_{m}{\tilde {\varphi }}(u_{\text{R}})_{n}+(Y_{\text{d}})_{mn}({\bar {q}}_{\text{L}})_{m}\varphi (d_{\text{R}})_{n}+(Y_{\text{e}})_{mn}({\bar {L}}_{\text{L}})_{m}\varphi (e_{\text{R}})_{n}+\mathrm {h.c.} }$$ である。ここで ${\displaystyle Y_{\text{u}}}$、${\displaystyle Y_{\text{d}}}$、${\displaystyle Y_{\text{e}}}$ は湯川結合の 3 × 3 行列であり、mn 成分は世代 m と n の結合を与える。また h.c. は先行する項のエルミート共役を意味する。場 ${\displaystyle q_{\text{L}}}$ と ${\displaystyle L_{\text{L}}}$ は、それぞれ左手型クォーク二重項と左手型レプトン二重項である。同様に ${\displaystyle u_{\text{R}}}$、${\displaystyle d_{\text{R}}}$、${\displaystyle e_{\text{R}}}$ は、それぞれ右手型アップ型クォーク、右手型ダウン型クォーク、右手型レプトン一重項である。最後に ${\displaystyle \varphi }$ はヒッグス二重項で、${\displaystyle {\tilde {\varphi }}=i\tau _{2}\varphi ^{*}}$ である。

ニュートリノ質量

前述のように、実験的証拠はニュートリノが質量をもつことを示している。しかし標準模型には右手型ニュートリノが存在しないため、湯川結合を含めてもニュートリノは質量ゼロのままである。明白な解決法の一つ^[3]は、単純に右手型ニュートリノ ν_R を追加することである。その場合、湯川部門に新たなディラック質量項を加える必要がある。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Dir}}=(Y_{\nu })_{mn}({\bar {L}}_{L})_{m}{\tilde {\varphi }}(\nu _{R})_{n}+\mathrm {h.c.} }$$

しかしこの場はステライルニュートリノでなければならない。右手型であるため、実験的にはアイソスピン一重項 T₃ = 0 に属し、さらに電荷 Q = 0 なので、Y_W = 0 となる。したがって上記のように、弱い相互作用にすら参加しない。ステライルニュートリノの実験的証拠は現在のところ決定的ではない。^[4]

もう一つの可能性は、ニュートリノがマヨラナ方程式を満たすと考えることである。ニュートリノの電荷がゼロであるため、これは一見可能に思える。この場合、湯川部門に新しいマヨラナ質量項を加える。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Maj}}=-{\frac {1}{2}}m\left({\overline {\nu }}^{C}\nu +{\overline {\nu }}\nu ^{C}\right)}$$ ここで C は電荷共役された粒子、すなわち反粒子を表し、${\displaystyle \nu }$ の項はすべて一貫して左カイラリティ、またはすべて右カイラリティである。反粒子の左カイラリティ射影は右手型場になるため、記法の違いには注意が必要である。ここでは本質的に、左手型ニュートリノと右手型反ニュートリノの間を反転している。さらに、ニュートリノが自身の反粒子であり、これら二つが同一粒子であることも可能だが、必須ではない。しかし左カイラリティ・ニュートリノでは、この項によって弱超電荷が2単位変化する。これは通常のヒッグス相互作用では不可能なので、弱超電荷 2 の追加三重項を含むようヒッグス場を拡張する必要がある。^[3]一方、右カイラリティ・ニュートリノではヒッグス場の拡張は不要である。左右いずれの場合も、マヨラナ項はレプトン数を破るが、その破れは現在の実験感度では検出できないほど小さい可能性がある。

同じ理論にディラック質量項とマヨラナ質量項の両方を含めることもできる。これはディラック質量だけを用いる方法とは異なり、右手型ニュートリノをGUTスケール付近の未知の物理と結び付けることによって、観測されるニュートリノ質量が小さいことに「自然な」説明を与えうる。^[5]シーソー機構も参照。

いずれにせよ実験結果を説明するには新しい場を仮定しなければならないため、ニュートリノは標準模型を超える物理を探索するための明白な入り口となっている。