既約多項式

代数学において既約多項式（きやくたこうしき、英: irreducible polynomial）とは、多項式環の既約元^{[注 1]}のことである。

概要

より冗長には次のようになる。

R を整域とし、その単数全体を R^×、一変数多項式環を R[X] とおく。

多項式 ƒ ∈ R[X] が2条件

• ƒ ∉ R^×
• ∀ g, h ∈ R[X]   ƒ = gh ⇒ g ∈ R^× or h ∈ R^×

を満たすとき既約であるという。そうでないとき可約であるという。

元々、整数係数多項式（有理数係数多項式) f(x) が、2 つの1次以上の整数係数多項式（有理数係数多項式） g(x),h(x) の積として因数分解できる時、すなわち

f(x) = g(x) h(x)

の形にできることを可約、そうでないときを既約として多項式の性質を調べる事はあったが、係数の範囲を一般化して、特定の無理数や複素数の四則演算で得られる係数での因数分解を考え、既約性を導入したのはニールス・アーベルである。

係数環 R が整数環や実数体、複素数体のような一意分解整域の場合には既約多項式は多項式環における素元でもあるので、これは整数環における素数の類似物である。

例

• 整数環上の一変数多項式 X² + 1 は既約多項式である
• 整数環上の一変数多項式 X² − 1 は X² − 1 = (X + 1)(X − 1) より可約多項式である
• 有限体 F₂ 上の一変数多項式 X² + 1 は X² + 1 = (X + 1)² より可約多項式である
• 円分多項式 Φ_d(X) ∈ Q[X] は既約多項式である
• 最小多項式は既約多項式である

判定法

整域 R の素イデアル P とモニック多項式

${\displaystyle f(X)=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\dotsb +a_{n}\in R[X]}$

をとる。このとき2条件

• a₁, …, a_n ∈ P
• a_n ∉ P²

を満たすならば多項式 ƒ は既約である（アイゼンシュタインの既約判定法）^[1][2]。

たとえば素数 p と自然数 m に対して整数環上の一変数多項式 X^m − p は既約である。ただし、これは既約である必要条件ではない。実際、例にある X² + 1 ∈ Z[X] はこの判定法で既約性を判定できない。

体上の既約多項式

位数 q の有限体上モニックな n 次既約多項式の総数は次の式で与えられる^[3]。

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d}}$

ただし μ はメビウス関数を表す。（ネックレス多項式も参照。）

脚注

参考文献

• 永田, 雅宜 (1995). 可換環論. 紀伊國屋数学叢書. 紀伊國屋書店. ISBN 4-314-00117-8 
• van der Waerden, B. L. (2003). Algebra. II. Springer-Verlag. ISBN 0-387-40625-5 

表 話 編 歴 多項式
元数	多変数
次数	多項式 零多項式 定数多項式 斉次多項式 函数 次数不確定 (or −∞)（零函数） 零次（非零定数函数） 一次 二次 三次 四次 五次 方程式 一次 二次 三次 四次 五次 六次 七次 八次
項数	零項 定数項 単項 二項 三項 無限変数（フランス語版） 座標に依らない記述（英語版）
係数条件	容量 1（原始的） 主係数 1（モニック）
アルゴリズム	因数分解 最大公約式（英語版） 除法（英語版） ホーナー法 終結式 判別式 グレブナー基底
関連項目	代数方程式 多項式の根 重根 (多項式) 根と係数の関係 剰余の定理 因数定理 多項式の展開 多項定理 二項定理 整式 解の公式 二次方程式の解の公式 陰計算
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