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Per Enflo

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ペール・エンフロ
Per Enflo
1972年撮影
生誕 (1944-05-20) 1944年5月20日
スウェーデン王国ストックホルム
研究分野
研究機関
教育 ストックホルム大学
博士課程指導教員 ハンス・ロードストレーム（英語版）
博士課程指導学生
主な業績
主な受賞歴 生きた鵞鳥（スタニスワフ・マズール（英語版）より）
プロジェクト:人物伝
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ペール・エンフロ[1][2][注 1]（典: Per H. Enflo、1944年5月20日 - 2026年9月28日(2026-09-28) ）は、スウェーデンの数学者である。関数解析学を研究し、この分野における根本的問題を解決した。そのうち3つの問題は40年以上の間未解決であった[4]。

これらの問題を解くにあたり、エンフロは新たな手法を開発した。この手法は関数解析学と作用素論で長年用いられた。エンフロの研究は数論や計算機科学、特に計算解析学（英語版）と近似アルゴリズムのような分野でも重要であった。

エンフロはケント州立大学で全学教授となった。他に、カリフォルニア大学バークレー校ミラー研究所（英語版）、スタンフォード大学、エコール・ポリテクニーク、スウェーデン王立工科大学でも働いていた。

エンフロはコンサートピアニストであった。

関数解析学・作用素論

ヒルベルトの第五問題

ストックホルム大学において、ハンス・ロードストレーム（英語版）は、エンフロに対しヒルベルトの第五問題（英語版）を関数解析学の視点で捉えるよう示唆した[注 2]。1969, 1970年、エンフロは第五問題に関する5つの論文を執筆した。Enflo (1970c) に短く要約されている。結果の一部は Enflo (1976b) や Lindenstrauss & Benyamini (2000) の最終章でも述べられている。

計算機科学における応用

エンフロの手法は計算機科学でも応用されている。アルゴリズム研究者は、低い distortion（リプシッツ圏におけるグロモフの用語、バナッハ・マズール距離（英語版）を参照）を持ちつつ有限距離空間を低次元ユークリッド空間に埋め込む近似アルゴリズムを導出した。低次元の問題は計算の複雑性が小さい。さらに、ユークリッド平面や3次元ユークリッド空間に埋め込めるならば、幾何学的アルゴリズムはより高速に動作できる。

しかし、Enflo (1969b) によればそのような埋め込みの方法は限られる[8]。

任意の m ≥ 2 においてハミング立方体 Cm は、D < √m ならば distortion D を持ちつつ 2m 次元ユークリッド空間に埋め込むことができない。ゆえに、最適な埋め込みは自然な埋め込み、すなわち {0, 1}m を m 次元ユークリッド空間の部分空間として実現するものである[9]。

この定理は、「おそらく、ユークリッド空間への埋め込みにおいて distortion が非有界となりうることを示した最初の定理である。エンフロはバナッハ空間間の一様埋め込み可能性を考察し、彼の証明において補助的なものであった[10]」。

バナッハ空間の幾何学

1972年、エンフロは「任意の超回帰的バナッハ空間は同値な一様凸ノルムを持つ」ことを証明した[11]。

基底問題

1973年、エンフロは何十年も数学者を悩ませてきた3つの問題を解決した。ステファン・バナッハによる基底問題（英語版）、スタニスワフ・マズール（英語版）による鵞鳥問題[3]、アレクサンドル・グロタンディークによる近似問題（英語版）である。グロタンディークは近似問題がバナッハ空間論と連続線型作用素における重要な問題であると述べた。

バナッハの基底問題

基底問題はバナッハの著書 Théorie des opérations linéaires で提示された。バナッハは任意の可分バナッハ空間はシャウダー基底（英語版）を持つか問うた。

シャウダー基底あるいは可算基底とは線型空間の通常の（ハーメル）基底に似た概念である。ハーメル基底では有限和である線型結合を用いるが、シャウダー基底では無限和となる。これにより、バナッハ空間のような無限次元位相線型空間の解析学においてシャウダー基底は有用である。

シャウダー基底は1927年にユリウシュ・シャウダーによって提示された[12][13]。V を体 F 上のバナッハ空間とする。シャウダー基底は V の要素の列 (bn) であって、任意の元 v ∈ V に対し F の要素の列の (αn) が一意に存在して v=∑n∈ℕαnbn となるものである。ただし、級数の収束はノルム位相で考えるものとする。シャウダー基底は同様に一般的な位相線型空間に対しても定義される。

1937年、ポーランドの数学者スタニスワフ・マズール（英語版）は『スコットランドの本』の問題153（英語版）の解決に対し、生きた鵞鳥を約束した。マズールはエンフロに対し鵞鳥を送った。

問題153と鵞鳥

1972年、スタニスワフ・マズール（英語版）は『スコットランドの本』の問題を解いた功績でエンフロに鵞鳥を授与した。

バナッハを含むポーランドのある数学者集団（ルヴフ学派（英語版））は、スコティッシュ・カフェ（英語版）に集まって数学の問題について議論していた。興味深く、解決が難しい問題は『スコットランドの本』に記録された。また、しばしば問題に対して提案者から賞品が約束された。

1936年11月6日、スタニスワフ・マズール（英語版）は連続関数の表現に対する問題を提示した。この問題は『スコットランドの本』に問題153として記載された。世界恐慌時、第二次世界大戦前にして、マズールは高価であった「生きた鵞鳥」を解決の報酬とした。

その後、マズールの問題は可分バナッハ空間のシャウダー基底の存在を問うバナッハの問題と深く関連していることが示された。スコットランドの本の大半の問題は解かれていたが、マズールの問題を含むいくつかは未解決のままで、世界中の数学者に知られた[14]。

近似問題

バナッハ空間論と連続線型作用素に関するグロタンディークの著作において近似性（英語版）が導入された。バナッハ空間は、任意のコンパクト作用素が有限階作用素が極限を持つとき近似性を持つという。逆は常に成立する[15]。

ある長いモノグラフにおいて、グロタンディークは任意のバナッハ空間が近似性を持つならば、任意のバナッハ空間はシャウダー基底を持つことを証明した[15]。

1972年、エンフロは近似性とシャウダー基底を持たない可分バナッハ空間を構成した[注 3]。1972年、マズールはヴァルシャヴァのバナッハセンター（ポーランド語版）で開催されポーランド全土に放送された式典において、エンフロに鵞鳥を送った[18]。

不変部分空間問題

関数解析学において、不変部分空間問題（英語版）は次の命題の真偽を問う重要な問題であった。

H を1次元以上の複素バナッハ空間、 T : H → H を有界線型作用素とする。H は非自明な閉じたT 不変な部分空間（英語版）、すなわち T(W) ⊆ W を満たし、{0}, H と異なる閉じた線型部分空間 W を持つ。

バナッハ空間に対して不変な部分空間を持たない作用素の初の例を構成したのはエンフロであった（ヒルベルト空間における不変部分空間問題は未だ未解決である）。

エンフロは1975年に不変部分空間問題の解を示し、1976年にその概略を発表した。1981年に全文を提出したが、長大かつ複雑であったため、出版は1987年まで遅れた[19]。エンフロの長い「原稿は数学者らの間で世界的に出回っていた[20]」。エンフロの手法の一部は Enflo (1976a) 以外でも言及されていた[注 4]。エンフロの仕事は、Beauzamy による不変部分空間を持たない作用素の構成にも影響を与えた[22]。

1990年代、エンフロはヒルベルト空間における不変部分空間問題に関連する構成的手法を開発した[注 5]。

同次多項式の不等式

エンフロの構成における重要な考えは、低次における多項式の集中である。すなわち、任意の正整数 m, n に対し、ある C(m, n) > 0 が存在して、任意の同次 m 次多項式 P、同次 n 次多項式 Q（いずれも k 変数）に対し、|PQ| ≥ C(m, n)|P||Q| が成立する。ここで |P| は P の係数の絶対値の和である。エンフロは C が k に依らないことを示した。モンゴメリー（英語版）はエンフロの証明を簡略化した[23]。

この結果は同次多項式の線型空間の異なるノルムに対しても一般化された。最も用いられるものはボンビエリ・ノルム（英語版）である。

エンフロの考えは数論[24]、代数幾何学・ディオファントス幾何学（英語版）[25]、多項式の因数分解[26]等の分野に影響を与えた。

数理生物学

応用数学、特に数理生物学の個体群動態論において、エンフロは複数の論文を著した。

人類の進化

エンフロは集団遺伝学と古人類学の論文を発表している[27]。

ジョン・D・ホークス（英語版）とミルフォード・ウォルポフ（英語版）とエンフロはネアンデルタール人と現生人類のDNAに関する化石証拠の考察を発表した。この論文は人類の進化をめぐる、多地域進化説（英語版）と単一起源説の争いに決着をつけようとしたものである。特に、ネアンデルタール人の絶滅（英語版）は現生人類がヨーロッパへ流入した、より正確にいえば現生人類のDNAがネアンデルタール人の遺伝子プールへと継続的に流入したことで生じた可能性があるとしている[28][29][30]。

エンフロはエリー湖におけるカワホトトギスガイ（英語版）の個体群動態論についても論文を執筆した[31]。

ピアノ

1963年、エンフロはストックホルム・コンサートホールでコンサートピアニストとしてデビューした[32]。

ペール・エンフロはコンサートピアニストでもあった。

1956年、11歳の頃エンフロはスウェーデンで開催された若手ピアニストのコンクールで優勝した。1961年にも同大会で優勝した[31]。12歳の頃には、スウェーデン王立歌劇場管弦楽団に独奏者として出演した。1963年にはストックホルム・コンサートホールでデビューを飾った。エンフロの教師にはブルーノ・ザイドルホーファー、アンダ・ゲーザ、ゴットフリート・ボーン（スウェーデン語版）らがいた[32]。

1999年、エンフロはヴァン・クライバーン財団（英語版）の第一回国際アマチュアピアノコンクールに参加した[33]。

エンフロは、オハイオ州のケント（英語版）やコロンバスで演奏活動を行った。エンフロの独奏会はオハイオ州立大学のWOSU-FM（英語版）で放送された[32]。

著作

脚注

注釈

  1. ↑ エンフレとも[3]。
  2. ↑ ロードストレームは半群論の観点から第五問題に関する論文を発表していた。また、局所凸とは限らない計量線型空間に関する論文を執筆したマルティン・リーベ（ドイツ語版）の（最初の）指導教員であった。リーベは一様埋め込み・リプシッツ連続埋め込みに関する結果を得る際に、距離幾何学に関するエンフロの結果、特に roundness を活用した[7]。
  3. ↑ エンフロの "sensation" は出典[16]の287頁で議論されている。また、エンフロの解法はハルモス、ジョンソン（英語版）、クワピェン（ポーランド語版）、リンデンシュトラウス（英語版）、ツァフリリ（ドイツ語版）、ネデフスキ（ブルガリア語版）、トロヤンスキ（ドイツ語版）、シンゲル（ドイツ語版）によっても紹介されている[17]。
  4. ↑ 例えば文献[21]。
  5. ↑ Foiaş, Ciprian; Jung, Il Bong; Ko, Eungil; Pearcy, Carl (2005). “On quasinilpotent operators. III”. Journal of Operator Theory 54 (2): 401–414.
    査読記事
    Gilles Cassier. “Review of On quasinilpotent operators. III”. Mathematical Review. MR 2186363.
    においてもエンフロの ("forward") "minimal vectors" が言及されている。エンフロの minimal vector の手法は エンフロとロモノソフ（英語版）の書籍 Enflo & Lomonosov (2001) でも詳細に述べられている。

出典

  1. ↑ L.ゴルディング 著、竹之内脩 訳『数学との出会い』岩波書店、1979年9月、118頁。 NCID BN01009163。
  2. ↑ 前田, 周一郎『函数解析』森北出版〈数学全書〉、1974年5月、63頁。ISBN 4627030606。
  3. 1 2 志賀浩二『無限からの光芒 : ポーランド学派の数学者たち』日本評論社、1988年4月、152頁。ISBN 4535781613。
  4. ↑ Halmos 1990, p. 586.
  5. ↑ Enflo 1973.
  6. ↑ Enflo 1976a; Enflo 1987.
  7. ↑ Lindenstrauss & Benyamini 2000.
  8. ↑ Matoušek 2002, Theorem 15.4.1.
  9. ↑ Matoušek 2002, p. 370.
  10. ↑ Matoušek 2002, p. 372.
  11. ↑ Beauzamy 1985, p. 298.
  12. ↑ Schauder, J. (1927). “Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen”. Mathematische Zeitschrift 26: 47–65. doi:10.1007/BF01475440. hdl:10338.dmlcz/104881.
  13. ↑ Schauder, J. (1928). “Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems”. Mathematische Zeitschrift 28: 317–320. doi:10.1007/BF01181164.
  14. ↑ Mauldin 1981.
  15. 1 2 Lindenstrauss & Tzafriri 1977.
  16. ↑ Pietsch 2007.
  17. ↑ Halmos 1978; Johnson 1980; Kwapień 1973; Lindenstrauss & Tzafriri 1977; Nedevski & Trojanski 1973; Singer 1981.
  18. ↑ Kałuża 1996; Saxe 2002; Eggleton 1984; Mauldin 1981.
  19. ↑ Beauzamy 1988; Yadav 2005; Enflo 1987.
  20. ↑ Yadav 2005, p. 292.
  21. ↑ Radjavi & Rosenthal 1982.
  22. ↑ Beauzamy 1988; Yadav 2005.
  23. ↑ Schmidt 1980, p. 257.
  24. ↑ Beauzamy et al. 1990.
  25. ↑ Bombieri & Gubler 2006.
  26. ↑ Knuth 1997; Beauzamy, Enflo & Wang 1994.
  27. ↑ Jensfelt, Annika (2001-01-14) (スウェーデン語). Ny brandfackla tänder debatten om manniskans ursprung. p. 1.
  28. ↑ Pääbo, Svante; et alia (2004). “Genetic analyses from ancient DNA”. Annu. Rev. Genet. 38: 645–679.
  29. ↑ Jensfelt, Annika (2001-01-14) (スウェーデン語). Ny brandfackla tänder debatten om manniskans ursprung. p. 1.
  30. ↑ Jensfelt, Annika (2001-01-14). “Ny brandfackla tänder debatten om manniskans ursprung” (スウェーデン語). Svenska Dagbladet: 14–15. "Per Enflos teori är extremt genomtänkt och högst betydelsefull. Han visar, utan att behöva anta några ovanliga förklaringar, hur en mer komplex förståelse för evolutionen kan förklara det vi observerat, säger den amerikanske antropologen Milford Wolpoff, professor vid University of Michigan."
  31. 1 2 Saxe 2002.
  32. 1 2 3 “Chagrin Valley Chamber Music Concert Series 2009-2010”. 2012年11月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年3月28日閲覧。
  33. ↑ Michael Kimmelman (1999-08-08). “Prodigy's Return”. The New York Times Magazine: Section 6, p. 30.

参考文献

外部リンク