八次方程式

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八次方程式（はちじほうていしき、英: octic equation）とは、次数が8の代数方程式である。

概要

八次方程式は、以下の形で表される方程式のことである。

${\displaystyle a_{8}x^{8}+a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{8}\neq 0)}$

この方程式にはアーベル–ルフィニの定理より、代数的な解法はない（五次方程式と同様）。

しかし、少しの誤差を気にしないならば近似的に解を求める方法としてニュートン法や二分法、ホーナー法が有効である。

解法

一部の八次方程式は解を求めることができる。

${\displaystyle x^{8}=1}$

ド・モアブルの定理より、

${\displaystyle \xi _{8}^{k}=\cos {\frac {2\pi k}{8}}+i\sin {\frac {2\pi k}{8}}\quad (k=1,2,\cdots ,8)}$

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}\,i}{2}},i,{\frac {-{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}\,i}{2}},-1,{\frac {-{\sqrt {2}}-{\sqrt {2}}\,i}{2}},-i,{\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {2}}\,i}{2}},1}$

ガロア群

• S₈ 対称群（位数 40320）
• A₈ 交代群（位数 20160） - 有限単純群

など

関連項目

• 代数学
• 代数方程式
• 高次方程式
  • 五次方程式（Quintic equation）

出典

外部リンク

• On the Solution to Octic Equations
• Alternating group:A8 - Groupprops
• Subgroup structure of alternating group:A8 - Groupprops
• 特殊な8次方程式の代数的解法 (PDF, 28.3203 KiB)

表 話 編 歴 多項式
元数	多変数
次数	多項式 零多項式 定数多項式 斉次多項式 函数 次数不確定 (or −∞)（零函数） 零次（非零定数函数） 一次 二次 三次 四次 五次 方程式 一次 二次 三次 四次 五次 六次 七次 八次
項数	零項 定数項 単項 二項 三項 無限変数（フランス語版） 座標に依らない記述（英語版）
係数条件	容量 1（原始的） 主係数 1（モニック）
アルゴリズム	因数分解 最大公約式（英語版） 除法（英語版） ホーナー法 終結式 判別式 グレブナー基底
関連項目	代数方程式 多項式の根 重根 (多項式) 根と係数の関係 剰余の定理 因数定理 多項式の展開 多項定理 二項定理 整式 解の公式 二次方程式の解の公式 陰計算
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