七次方程式

七次方程式（しちじほうていしき、ななじほうていしき、英語: septic equation）とは、次数が7であるような代数方程式のこと。

概要

一般に一変数の七次方程式は

${\displaystyle a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{7}\neq 0)}$

の形で表現される。

解法

超楕円関数（英語版）をした解法がある。

• 交代群 A₇ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{7}}$
• 対称群 S₇ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{7}}$
• ガロア群
• 種数 3 のテータ関数

ガロア群

ガロア群の種類に応じた解法となる。

• S₇ 対称群（位数 5040）
• A₇ 交代群（位数 2520）
• L(3, 2) ファノ平面（英語版）の対称性の群（位数 168）

• M₇ メタ巡回群（英語版）（位数 42） - フロベニウス群（英語版） F₄₂
• 半メタ巡回群（位数 21） - フロベニウス群（英語版） F₂₁
• D₇ 二面体群（位数 14）
• C₇ 巡回群（位数 7）

脚注

参考文献

• 群論からみた Galois 理論, 楕円曲線論へと導く環論と体論
• Konstruktive Galoistheorie für Polynome kleinen Grades über Q

関連項目

• ヒルベルトの第13問題（英語版） - ヒルベルトの23の問題 任意の7次方程式を2変数の関数だけで解くことの不可能性
• リーマン・テータ関数（英語版） - 楕円テータ関数の多変数化

外部リンク

• 解の公式を一般化しよう：「五次方程式の解の公式はない」は嘘 - YouTube

表 話 編 歴 多項式
元数	多変数
次数	多項式 零多項式 定数多項式 斉次多項式 函数 次数不確定 (or −∞)（零函数） 零次（非零定数函数） 一次 二次 三次 四次 五次 方程式 一次 二次 三次 四次 五次 六次 七次 八次
項数	零項 定数項 単項 二項 三項 無限変数（フランス語版） 座標に依らない記述（英語版）
係数条件	容量 1（原始的） 主係数 1（モニック）
アルゴリズム	因数分解 最大公約式（英語版） 除法（英語版） ホーナー法 終結式 判別式 グレブナー基底
関連項目	代数方程式 多項式の根 重根 (多項式) 根と係数の関係 剰余の定理 因数定理 多項式の展開 多項定理 二項定理 整式 解の公式 二次方程式の解の公式 陰計算
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