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いとこ素数

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いとこ素数（いとこそすう、英:cousin primes）は、差が $4$ である素数の組である。1000以下のいとこ素数は次の通りである。（オンライン整数列大辞典の数列A023200、A046132）

(3, 7)

(7, 11)

(13, 17)

(19, 23)

(37, 41)

(43, 47)

(67, 71)

(79, 83)

(97, 101)

(103, 107)

(109, 113)

(127, 131)

(163, 167)

(193, 197)

(223, 227)

(229, 233)

(277, 281)

(307, 311)

(313, 317)

(349, 353)

(379, 383)

(397, 401)

(439, 443)

(457, 461)

(463, 467)

(487, 491)

(499, 503)

(613, 617)

(643, 647)

(673, 677)

(739, 743)

(757, 761)

(769, 773)

(823, 827)

(853, 857)

(859, 863)

(877, 881)

(883, 887)

(907, 911)

(937, 941)

(967, 971)

2組のいとこ素数に属するのは7だけである。(n, n+4, n+8)は、どれかひとつは必ず3で割り切れてしまうため、3者とも素数であるのはn=3の場合のみである。

いとこ素数は無数に存在すると予想されている。2009年5月現在知られている最大のいとこ素数は、それを $(p, p + 4)$ とすると $p$ は

p = (311778476 \times 587502 \times 9001# \times (587502 \times 9001# + 1) + 210) \times (587502 \times 9001# - 1) / 35 + 1

で与えられる^[1]。ここで $9001#$ は素数階乗である。この11,594桁の数は Ken Davis により発見された。

現在知られている最大の確率的素数によるいとこ素数は、

474435381 \times 2 98394 - 1

474435381 \times 2 98394 - 5

である。この29,629桁の数は Angel, Jobling, Augustin により発見された。 1つ目の数は素数であることが証明された一方で、2つ目の数が素数であるか否かを容易に決定する素数判定法は存在しない。

ハーディ・リトルウッドの最初の予想からすると、いとこ素数は双子素数と同じく漸近の密度をもっているということになる。初項 $(3, 7)$ を除いて、いとこ素数の逆数和を、双子素数におけるブルン定数と同様に定義することができる。

B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .

$242$ までのいとこ素数を使用し, 1996年に Marek Wolf が $B 4$ の値を概算した。

B 4 \approx 1.1970449

^[2]

$B 4$ は四つ子素数の逆数和（ブルン定数）で用いられることがあり、混同に注意が必要である。

参考文献

↑ Davis, Ken (8 May 2009). "11594 digit cousin prime pair". primenumbers (Mailing list). 2009年5月9日閲覧。
↑ Marek Wolf, On the Twin and Cousin Primes (PostScript file).

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Cousin Primes". mathworld.wolfram.com (英語).（2010年9月26日閲覧）

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p - 1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧

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参考文献

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外部リンク

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