固有値分解

行列の冪計算

行列 ${\displaystyle A}$ が固有値分解 ${\textstyle A=P\Lambda P^{-1}}$ を持つとする。このとき、自然数 ${\displaystyle n}$ に対して ${\displaystyle A}$ の冪 ${\displaystyle A^{n}}$ は

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{n}&=(P\Lambda P^{-1})^{n}\\&=(P\Lambda P^{-1})(P\Lambda P^{-1})\cdots (P\Lambda P^{-1})\\&=P\Lambda ^{n}P^{-1}\end{aligned}}}$

で表される。${\displaystyle \Lambda }$ は対角行列であったので、${\displaystyle \Lambda =\mathop {\mathrm {diag} } (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{d})}$ に対して ${\displaystyle \Lambda ^{n}=\mathop {\mathrm {diag} } (\lambda _{1}^{n},\dots ,\lambda _{d}^{n})}$ と計算できる。従って、特に ${\displaystyle A}$ に対して ${\displaystyle P}$ が既知である場合に ${\displaystyle A}$ の冪を簡単に求めることができる。

行列の指数

冪計算の応用として、行列の指数関数

${\displaystyle e^{A}\mathrel {:=} \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}}$

の計算もまた、${\displaystyle A}$ の固有値分解が既知であれば容易になる。固有値分解 ${\textstyle A=P\Lambda P^{-1}}$ に対して冪計算が ${\displaystyle A^{n}=P\Lambda ^{n}P^{-1}}$であることと、行列の指数関数の各種性質から、

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{A}&=e^{P\Lambda P^{-1}}\\&=Pe^{\Lambda }P^{-1}\\&=P\left(\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\Lambda ^{n}\right)P^{-1}\\&=P\left({\begin{smallmatrix}e^{\lambda _{1}}&&&\\&e^{\lambda _{2}}&&\\&&\ddots &\\&&&e^{\lambda _{d}}\end{smallmatrix}}\right)P^{-1}\end{aligned}}}$

と計算できる。

他にも、様々な工学的応用がある^{[5][6][7][8][9]}。