各軸周りの回転

3次元空間でのx軸、y軸、z軸周りの回転を表す回転行列は、それぞれ次の通りである：

${\displaystyle R_{x}(\theta )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle R_{y}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle R_{z}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

ここで回転の方向は、${\displaystyle R_{x}}$ はy軸をz軸に向ける方向、${\displaystyle R_{y}}$ はz軸をx軸に向ける方向、${\displaystyle R_{z}}$ はx軸をy軸に向ける方向である。

オイラー角

一般の回転行列も、これら3つの各軸周りの回転行列 ${\displaystyle R_{x},R_{y},R_{z}}$ の積によって得ることができる^[1]。 例えば、次の積

${\displaystyle R_{z}(\gamma )R_{x}(\beta )R_{y}(\alpha )}$

は、yxz系で表したときのオイラー角が α, β, γ であるような回転を表す。

任意の軸周りの回転

任意の回転行列は、ある軸 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ まわりの角度 ${\displaystyle \theta }$ の回転という形に表示できる（オイラーの定理 (剛体) （英語版））^[2]。このような回転行列はロドリゲスの回転公式により

${\displaystyle R_{\mathbf {n} }(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta +n_{x}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&n_{x}n_{y}\left(1-\cos \theta \right)-n_{z}\sin \theta &n_{z}n_{x}\left(1-\cos \theta \right)+n_{y}\sin \theta \\n_{x}n_{y}\left(1-\cos \theta \right)+n_{z}\sin \theta &\cos \theta +n_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&n_{y}n_{z}\left(1-\cos \theta \right)-n_{x}\sin \theta \\n_{z}n_{x}\left(1-\cos \theta \right)-n_{y}\sin \theta &n_{y}n_{z}\left(1-\cos \theta \right)+n_{x}\sin \theta &\cos \theta +n_{z}^{2}\left(1-\cos \theta \right)\\\end{bmatrix}}}$

と表示できる^[3]。また、任意のベクトル ${\displaystyle \mathbf {r} }$ へのその作用は

${\displaystyle R_{\mathbf {n} }(\theta )\mathbf {r} =\mathbf {r} \cos \theta +\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} )(1-\cos \theta )+(\mathbf {n} \times \mathbf {r} )\sin \theta }$

と書ける^{[4][注釈 1]}。

ケーリー・クラインのパラメータ

フェリックス・クラインによって考案されたケーリー・クラインのパラメータは、回転行列を4つの複素数 ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \delta }$（ただし ${\displaystyle \beta =\gamma ^{*}}$, ${\displaystyle \delta =\alpha ^{*}}$を満たすものとする）を用いて

${\displaystyle R(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&{\frac {i}{2}}(\gamma ^{2}-\alpha ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&\gamma \delta -\alpha \beta \\{\frac {i}{2}}(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2}-\delta ^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})&-i(\alpha \beta +\gamma \delta )\\\beta \delta -\alpha \gamma &i(\alpha \gamma +\beta \delta )&\alpha \delta +\beta \gamma \end{bmatrix}}}$

と表示するものである^[5]。

注釈

出典