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単因子

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代数学において、行列の単因子（たんいんし）とは、その「標準形」を定める不変量のことである。

定義

$D$ を単項イデアル整域（たとえば整数環 $Z$ や複素係数の一変数多項式環 $C [x]$ などのユークリッド整域）とする。また $M n \times m (D)$ を $D$ 成分の $n \times m$ 行列全体とし、特に $m = n$ のときは、これを $M n (D)$ と表すことにする。すべての行列 $A \in M n \times m (D)$ は、ある可逆行列 $P \in M n (D)$ と $Q \in M m (D)$ を使って次の形に変形できる^[1]。

PAQ={\begin{pmatrix}e_{1}&&&&\\&\ddots &&&\\&&e_{r}&&\\&&&0&\\&&&&\ddots \end{pmatrix}}

ここで $e 1, \dots, e r \neq 0$ かつ $e 1 D \supseteq \dots \supseteq e r D$ である。このような $e 1, \dots, e r$ は単数倍を除いて一意に定まり^[2]、これを行列 $A$ の単因子という。右辺の行列は $A$ のスミス標準形 Smith normal form^[3] あるいは単因子標準形と呼ばれる。この行列 $P, Q$ は行列の基本変形を積み重ねることにより求められる^[4]。

性質

$F$ を体とする。

2つの行列 $A, B \in M n (F)$ が相似であるための必要十分条件は、2つの行列 $xI - A, xI - B \in M n (F [x])$ の単因子が一致することである^[5]。

行列 $A \in M n (F)$ の最小多項式は、行列 $xI - A \in M n (F [x])$ の最大次数の単因子（を規格化したもの）と一致する^[6]。

例

$D$ を複素係数の一変数多項式環 $C [x]$ とする。次の行列 $A \in M 2 (C [x])$ の単因子は可逆行列 $P, Q \in M 2 (C [x])$ として以下の行列を取れば $1, (x - λ) 2$ とわかる。

A={\begin{pmatrix}x-\lambda &-1\\&x-\lambda \end{pmatrix}}

P={\begin{pmatrix}1&\\x-\lambda &1\end{pmatrix}},\qquad Q={\begin{pmatrix}1&\\x-\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}&1\\-1&\end{pmatrix}}

PAQ={\begin{pmatrix}1&\\&(x-\lambda )^{2}\end{pmatrix}}

脚注

↑ Jacobson 2009, Theorem 3.8.
↑ Jacobson 2009, p. 185.
↑ Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 181.
↑ Jacobson 2009, p. 182.
↑ 斎藤 1966, 系6.1.4, 定理6.1.8.
↑ 斎藤 1966, 定理6.3.3.

参考文献

Hazewinkel, M.; Gubareni, N.; Kirichenko, V. V. (2004). Algebras, Rings and Modules. 1. Kluwer Academic Publishers. ISBN 1-4020-2690-0
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (Second ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1
斎藤正彦『線型代数入門』（初版）東京大学出版会、1966年。ISBN 978-4-13-062001-7。
木村達雄、竹内光弘、宮本雅彦、森田純：「代数の魅力」、数学書房、ISBN 978-4-903342-11-5 (2009年9月10日)　の第2.4節と第2.5節。

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Invariant Factor". mathworld.wolfram.com (英語).

演算・操作	乗法転置逆行列サラスの方法基本変形対角化分解 LU QR コレスキーシューア特異値固有値
不変量	行列式跡階数固有値と固有ベクトル固有多項式最小多項式単因子階数標準形スミス標準形ジョルダン標準形有理標準形小行列式
クラス	正則基本対称エルミート正規直交回転ユニタリ冪零射影正定値ユニモジュラー置換区分

行列式

多重線型代数

数値線形代数

基本的な概念	浮動小数点数値的安定性疎行列 Z-行列 M行列条件数ゲルシュゴリンの定理クリロフ部分空間
ソフトウェア	MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧
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