明示公式

2 × 2 行列の場合は、すべての成分を明示的に計算することによって平方根を求めることはそう難しくない。固有値が退化していない場合の平方根は明示公式（英語版）として記述できる。

すなわち、${\textstyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$とし、その行列式を${\textstyle \Delta =ad-bc}$、
特性方程式${\textstyle (x-a)(x-d)-bc=x^{2}-(a+d)x+ad-bc=0}$の判別式を
${\textstyle \delta =(a+d)^{2}-4(ad-bc)=(a+d+2{\sqrt {\Delta }})(a+d-2{\sqrt {\Delta }})}$としたとき、

${\textstyle \delta \neq 0}$ならば、 ${\textstyle A}$の平方根は、

${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {\Delta }}}}}(A+{\sqrt {\Delta }}I)}$、${\textstyle {\frac {-1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {\Delta }}}}}(A+{\sqrt {\Delta }}I)}$、${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {\Delta }}}}}(A-{\sqrt {\Delta }}I)}$、${\textstyle {\frac {-1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {\Delta }}}}}(A-{\sqrt {\Delta }}I)}$と明示的に表記できる。

平方根となることは、実際に2乗を計算すれば${\textstyle (A+{\sqrt {\Delta }}I)^{2}=A^{2}+\Delta I+2{\sqrt {\Delta }}A=(a+d+2{\sqrt {\Delta }})A}$から容易にわかる。

あるいは、2次のケイリー・ハミルトンの定理${\textstyle A^{2}-(a+d)A+\Delta I=0}$から${\textstyle (a+d)A=A^{2}+\Delta I}$、${\textstyle (a+d+2{\sqrt {\Delta }})A=A^{2}+2{\sqrt {\Delta }}A+\Delta I=(A+{\sqrt {\Delta }}I)^{2}}$としても良い。

これら以外に平方根が存在しないことについては、${\textstyle B^{2}=A}$とした場合、${\textstyle \delta \neq 0}$より${\textstyle A}$は2つの相異なる固有値${\textstyle \lambda _{1}}$、${\textstyle \lambda _{2}}$と、独立な固有ベクトル${\textstyle Av_{1}=\lambda _{1}v_{1}}$、${\textstyle Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}}$を持つが、任意の2次列ベクトルは、${\textstyle v_{1}}$、${\textstyle v_{2}}$の1次結合で表せるので、${\textstyle Bv_{1}=\alpha _{11}v_{1}+\alpha _{12}v_{2}}$、${\textstyle Bv_{2}=\alpha _{21}v_{1}+\alpha _{22}v_{2}}$とすると、 ${\textstyle \lambda _{1}v_{1}=Av_{1}=BBv_{1}=B(\alpha _{11}v_{1}+\alpha _{12}v_{2})=(\alpha _{11}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21})v_{1}+(\alpha _{11}\alpha _{12}+\alpha _{12}\alpha _{22})v_{2}}$、 ${\textstyle \lambda _{2}v_{2}=Av_{2}=BBv_{2}=B(\alpha _{21}v_{1}+\alpha _{22}v_{2})=(\alpha _{21}\alpha _{11}+\alpha _{22}\alpha _{21})v_{1}+(\alpha _{21}\alpha _{12}+\alpha _{22}^{2})v_{2}}$すなわち、 ${\textstyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{11}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21}&\alpha _{12}(\alpha _{11}+\alpha _{22})\\\alpha _{21}(\alpha _{11}+\alpha _{22})&\alpha _{22}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21}\end{bmatrix}}}$であるが、 ${\textstyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}$のため、解は${\textstyle \alpha _{11}=\pm {\sqrt {\lambda _{1}}}}$、${\textstyle \alpha _{12}=\alpha _{21}=0}$、${\textstyle \alpha _{22}=\pm {\sqrt {\lambda _{2}}}}$に定まる。これにより任意の2次列ベクトル${\textstyle xv_{1}+yv_{2}}$が${\textstyle B}$によりどう変換されるかが定まるが、これは${\textstyle B}$が定まることを意味する。${\textstyle A}$が固有値ゼロを持たない場合は解が4組、固有値ゼロを持つ場合（${\textstyle \Delta =0}$の場合）は解が2組であるが、これは上記の明示公式で尽くされているので、これら以外には、平方根は存在しない。

${\textstyle \delta =0}$の場合は、複雑になる。
${\textstyle \delta =0}$かつ${\textstyle A}$の最小多項式が1次の場合

${\textstyle A=aI}$となるため、次のように無数の平方根を持つ

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\sqrt {a-xy}}&x\\y&-{\sqrt {a-xy}}\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-{\sqrt {a-xy}}&x\\y&{\sqrt {a-xy}}\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}{\sqrt {a}}&0\\0&{\sqrt {a}}\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-{\sqrt {a}}&0\\0&-{\sqrt {a}}\end{bmatrix}}}$$

${\textstyle \delta =0}$かつ${\textstyle A}$の最小多項式が2次で${\textstyle \Delta \neq 0}$の場合

${\textstyle (a+d+2{\sqrt {\Delta }})}$、${\textstyle (a+d-2{\sqrt {\Delta }})}$のうちどちらかはゼロではなく、ゼロではない方を使って次のように表せる。

${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {\Delta }}}}}(A+{\sqrt {\Delta }}I)}$、${\textstyle {\frac {-1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {\Delta }}}}}(A+{\sqrt {\Delta }}I)}$または

${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {\Delta }}}}}(A-{\sqrt {\Delta }}I)}$、${\textstyle {\frac {-1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {\Delta }}}}}(A-{\sqrt {\Delta }}I)}$

平方根が２つしかないことは、次のように言える。

${\textstyle B^{2}=A}$とした場合、${\textstyle \delta =0}$より${\textstyle A}$は重根の固有値${\textstyle \lambda }$を持ち、最小多項式${\textstyle \varphi (t)=(t-\lambda )^{2}}$が2次のため、${\textstyle (A-\lambda I)v_{1}=v_{2}\neq 0}$、${\textstyle (A-\lambda I)v_{2}=(A-\lambda I)^{2}v_{1}=0}$とできるが、任意の2次列ベクトルは、${\textstyle v_{1}}$、${\textstyle v_{2}}$の1次結合で表せるので、${\textstyle Bv_{1}=\alpha _{11}v_{1}+\alpha _{12}v_{2}}$、${\textstyle Bv_{2}=\alpha _{21}v_{1}+\alpha _{22}v_{2}}$とすると、

${\textstyle \lambda v_{1}+v_{2}=Av_{1}=BBv_{1}=B(\alpha _{11}v_{1}+\alpha _{12}v_{2})=(\alpha _{11}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21})v_{1}+(\alpha _{11}\alpha _{12}+\alpha _{12}\alpha _{22})v_{2}}$、

${\textstyle \lambda v_{2}=Av_{2}=BBv_{2}=B(\alpha _{21}v_{1}+\alpha _{22}v_{2})=(\alpha _{21}\alpha _{11}+\alpha _{22}\alpha _{21})v_{1}+(\alpha _{21}\alpha _{12}+\alpha _{22}^{2})v_{2}}$すなわち、

${\textstyle {\begin{bmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{11}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21}&\alpha _{12}(\alpha _{11}+\alpha _{22})\\\alpha _{21}(\alpha _{11}+\alpha _{22})&\alpha _{22}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21}\end{bmatrix}}}$であるが、

解は${\textstyle \alpha _{11}=\pm {\sqrt {\lambda }}}$、${\textstyle \alpha _{21}=0}$、${\textstyle \alpha _{12}=1/(2\alpha _{11})}$、${\textstyle \alpha _{22}=\alpha _{11}}$に定まる。これにより任意の2次列ベクトル${\textstyle xv_{1}+yv_{2}}$が${\textstyle B}$によりどう変換されるかが定まるが、これは${\textstyle B}$が定まることを意味する。解は2組であるが、これは上記の明示公式で尽くされているので、これら以外には、平方根は存在しない。

${\textstyle \delta =0}$かつ${\textstyle A}$の最小多項式が2次で${\textstyle \Delta =0}$の場合

この場合、行列は平方根を持たない。

上記と同様の議論で、${\textstyle B^{2}=A}$とした場合、${\textstyle \delta =0}$より${\textstyle A}$は重根の固有値ゼロを持ち、最小多項式${\textstyle \varphi (t)=t^{2}}$が2次のため、${\textstyle Av_{1}=v_{2}\neq 0}$、${\textstyle Av_{2}=A^{2}v_{1}=0}$とできるが、任意の2次列ベクトルは、${\textstyle v_{1}}$、${\textstyle v_{2}}$の1次結合で表せるので、${\textstyle Bv_{1}=\alpha _{11}v_{1}+\alpha _{12}v_{2}}$、${\textstyle Bv_{2}=\alpha _{21}v_{1}+\alpha _{22}v_{2}}$とすると、

${\textstyle v_{2}=Av_{1}=BBv_{1}=B(\alpha _{11}v_{1}+\alpha _{12}v_{2})=(\alpha _{11}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21})v_{1}+(\alpha _{11}\alpha _{12}+\alpha _{12}\alpha _{22})v_{2}}$、

${\textstyle 0=Av_{2}=BBv_{2}=B(\alpha _{21}v_{1}+\alpha _{22}v_{2})=(\alpha _{21}\alpha _{11}+\alpha _{22}\alpha _{21})v_{1}+(\alpha _{21}\alpha _{12}+\alpha _{22}^{2})v_{2}}$すなわち、

${\textstyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{11}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21}&\alpha _{12}(\alpha _{11}+\alpha _{22})\\\alpha _{21}(\alpha _{11}+\alpha _{22})&\alpha _{22}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21}\end{bmatrix}}}$であるが、

これは解を持たない。

D が n × n 対角行列ならば、D の対角成分の任意の平方根を対応する位置の対角成分に持つ対角行列 R を作れば平方根が得られる。D の対角成分が非負の実数ならば、先の対角行列 R で各成分の符号を全て正としたものは D の主平方根である。

冪等行列の平方根は、自身を平方根に持つ。

対角化の利用

対角化可能行列 A に対し、適当な行列 V と対角行列 D が存在して A = VDV⁻¹ と書ける。これは A が Cⁿ を張る n 個の固有値を持つことと同値である。このとき V はその列ベクトルが n 個の固有ベクトルであるように選べる。そうして A の平方根は D の任意の平方根を用いて ${\textstyle A^{1/2}=VD^{1/2}V^{-1}}$ と書ける。実際、${\textstyle (VD^{1/2}V^{-1})^{2}=VD^{1/2}(V^{-1}V)D^{1/2}V^{-1}=VDV^{-1}=A}$ である。 A がエルミート行列ならば対角化に用いる行列 V は固有ベクトルを適当に選んでユニタリ行列となるようにとれる。この場合、V の逆行列はたんに随伴をとるだけであるから、${\textstyle A^{1/2}=VD^{1/2}V^{\dagger }}$ と書ける。

ジョルダン分解の利用

正方行列 ${\displaystyle A}$のジョルダン標準形 を${\displaystyle J=P^{-1}AP}$とすると、次が言える。

${\displaystyle K}$を${\displaystyle J}$の平方根${\displaystyle K^{2}=J}$とすると、${\displaystyle B=PKP^{-1}}$は、${\displaystyle B^{2}=(PKP^{-1})(PKP^{-1})=PK^{2}P^{-1}=PJP^{-1}=A}$より、${\displaystyle A}$の平方根となる。

逆に${\displaystyle B}$を${\displaystyle A}$の平方根${\displaystyle B^{2}=A}$とすると、${\displaystyle K=P^{-1}BP}$は、${\displaystyle K^{2}=(P^{-1}BP)(P^{-1}BP)=P^{-1}B^{2}P=P^{-1}AP=J}$より、${\displaystyle J}$の平方根であり、${\displaystyle B=PKP^{-1}}$である。

このため、ジョルダン標準形${\displaystyle J=P^{-1}AP}$の全ての平方根${\displaystyle K}$を知ることができれば、${\displaystyle B=PKP^{-1}}$により、${\displaystyle A}$の全ての平方根${\displaystyle B}$を知ることができる。

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &J_{m}\\\end{bmatrix}}}$とし、${\displaystyle K_{i}^{2}=J_{i},1\leq i\leq m}$とすれば、${\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &K_{m}\\\end{bmatrix}}}$は、${\displaystyle J}$の平方根のうちの一つである。

逆に、${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&O\\O&J_{2}\\\end{bmatrix}}}$、ただし${\displaystyle J_{1},J_{2}}$はジョルダン標準形で、${\displaystyle J_{1}}$と${\displaystyle J_{2}}$は共通の固有値を持たないとすると、${\displaystyle J}$の平方根は、${\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{1}&O\\O&K_{2}\\\end{bmatrix}}}$ただし、${\displaystyle K_{1}^{2}=J_{1},K_{2}^{2}=J_{2}}$に限られる。

これは、${\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{1}&B\\C&K_{2}\\\end{bmatrix}},J=K^{2}}$とすると、

${\displaystyle K^{3}=KJ={\begin{bmatrix}K_{1}&B\\C&K_{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}J_{1}&O\\O&J_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{1}J_{1}&BJ_{2}\\CJ_{1}&K_{2}J_{2}\\\end{bmatrix}}=JK={\begin{bmatrix}J_{1}&O\\O&J_{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}K_{1}&B\\C&K_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{1}K_{1}&J_{1}B\\J_{2}C&J_{2}K_{2}\\\end{bmatrix}}}$より

${\displaystyle BJ_{2}=J_{1}B}$となるが、${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{1}&\dots &b_{k}\\\end{bmatrix}}}$、${\displaystyle J_{2}}$の対角成分（固有値）を${\displaystyle \lambda _{i},1\leq i\leq k}$と置き、第１列に注目すれば、${\displaystyle \lambda _{1}b_{1}=J_{1}b_{1}}$だが、${\displaystyle J_{1}}$と${\displaystyle J_{2}}$は共通の固有値を持たないため、${\displaystyle b_{1}=0}$が言え、順次、第２列、第３列に注目すれば${\displaystyle b_{i}=0}$が言え、${\displaystyle B=O}$が言える。

${\displaystyle CJ_{1}=J_{2}C}$からも同様に、${\displaystyle C={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\\\end{bmatrix}}}$と置き、第k行に注目すれば${\displaystyle c_{k}J_{1}=\lambda _{k}c_{k}}$だが、${\displaystyle J_{1}}$と${\displaystyle J_{2}}$は共通の固有値を持たないため、${\displaystyle c_{k}=0}$が言え、順次、第k-1行、第k-2行に注目すれば${\displaystyle c_{i}=0}$が言え、${\displaystyle C=O}$が言える。このため、上記が言える。

ジョルダン標準形の平方根には、ジョルダン細胞の平方根であるものと、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {1-bc}}&b\\c&-{\sqrt {1-bc}}\\\end{bmatrix}}^{2}}$

のようにジョルダン細胞の平方根ではないもの（同じ固有値のジョルダン細胞が複数あるときに発生する）があるので、注意が必要である。

現実的な計算法

「対角化」の方法でも「ジョルダン分解」の方法でも、すべての固有値を算出することが必要となるが、それは行列の特性方程式（あるいは最小方程式）のすべての解を求めることと同じであり、行列の次数が大きくなれば非現実的となる。このため、現実的な平方根の求め方が必要となる。

定義

転置あるいはエルミート共軛を用いれば、より一般に非対称あるいは非エルミートな矩形行列の範疇で「平方根」をとることができる。

定義

半正定値実正方行列 A に対して、A = B ^tB（あるいは A = ^tBB、すなわちAはグラム行列）を満たす任意の矩形行列 B を A の非対称平方根 (asymmetric square root)^[6] と呼ぶ。（記号 ^t は行列の転置を表す）

定義

半正定値複素正方行列 A に対して、A = BB*（あるいは A = B*B）を満たす任意の矩形行列 B を A の非エルミート平方根 (non-Hermitian square root) と呼ぶ。（記号 * はエルミート共軛を表す）

B がエルミート（実係数の場合は対称）ならば、B は上で述べたAの平方根と一致する。任意の正定値エルミート行列 A に対し、それ自身正定値エルミートとなる平方根は一意であり、これを主平方根 (unique square root, principal square root)^[7]と呼ぶ。

注

コレスキー分解からも平方根の例が得られるが、コレスキー因子と（主）平方根とを混同してはならない。

非対称平方根のユニタリ自由度

正実数の平方根は、主平方根に ±1 を掛けたものですべて与えられた。これに対応するように、正定値エルミート行列の任意の非エルミート平方根は、ユニタリ変換によって関連付けられる^[8]:

主張

半正定値行列 T に対し、T = A*A = B*B ならばユニタリ行列 U が存在して A = UB と書ける。

実際、主平方根を B ≔ T^½ と書けば、T が正定値のとき B は可逆で、U = AB⁻¹がユニタリであることは $${\displaystyle {\begin{aligned}U^{*}U&=\left((B^{*})^{-1}A^{*}\right)\left(AB^{-1}\right)=(B^{*})^{-1}T(B^{-1})\\&=(B^{*})^{-1}B^{*}B(B^{-1})=I.\end{aligned}}}$$ からわかる。T が正定値でない半正定値行列のときは逆行列の代わりにムーア・ペンローズ擬逆行列 B⁺ が取れて、作用素 B⁺A は部分等長だから、T の核の上で自明となるように拡張して U が得られる。

一般化

• 有限次元数空間上で行列を考える代わりに、任意のヒルベルト空間上の有界作用素に対して、その平方根を考えることができる。とくに有界半正定値作用素に対して、半正定値な平方根としての主平方根は一意に決まる。あるいは非エルミート平方根に関しても同様に考えることができる。無限次元の場合には、平方根がユニタリ作用素を施す違いを除いて決まるという事実は、作用素が閉値域ならば正しい。非有界作用素に対しては、閉かつ稠密に定義された二つの平方根 A, B に対し部分等方な U で A = UB とできることなどは言える。

注釈

出典