逆べき乗法

逆べき乗法（逆冪乗法、ぎゃくべきじょうほう）もしくは逆反復（法）とは、ある${\displaystyle n\times n}$の行列${\displaystyle \mathbf {A} }$が正則行列であるときに、行列${\displaystyle \mathbf {A} }$の固有値のうち、絶対値最小のものを求める手法である。

具体的には、適当な初期ベクトル${\displaystyle \mathbf {y} ^{(0)}}$から始めて、逐次

${\displaystyle \mathbf {y} ^{(k)}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {y} ^{(k-1)}}$

を計算することで、${\displaystyle \mathbf {y} ^{(k)}}$が${\displaystyle \mathbf {A} }$の絶対値最小の固有値${\displaystyle \lambda _{n}}$に属する固有ベクトルに収束していくことを利用し、

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\dfrac {\mathbf {y} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {y} ^{(k)}}{\mathbf {y} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {y} ^{(k-1)}}}={\frac {1}{\lambda _{n}}}}$

により絶対値最小の固有値を得る。

　絶対値最大の固有値を求める手法としてはべき乗法が有名である。逆べき乗法は行列${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$に対してべき乗法を適用しているため、収束の証明はべき乗法と同様である。

参考文献

• 伊理正夫、藤野和建『数値計算の常識』共立出版。 

関連項目

• 固有値問題
• べき乗法

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
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行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
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その他	スカラー ケイリー・ハミルトンの定理 ペロン＝フロベニウスの定理 シューア補行列 シルヴェスターの慣性法則
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