科学法則

保存と対称性

保存則は、空間・時間・位相の均質性、言い換えれば対称性から導かれる根本法則である。

• ネーターの定理: 作用の中で連続微分可能な対称性を持つ任意の量には、対応する保存則が存在する。
• 質量保存の法則は最初に理解された法則である。これは、質量の衝突や流体の流れのように質量を伴うほとんどの巨視的物理過程が、質量が保存されるという見かけ上の信念をもたらすためである。質量保存はすべての化学反応で成り立つと観測されてきた。しかし一般的にはこれは近似的にすぎない。相対性理論の出現と核・素粒子物理学の実験により、質量はエネルギーに変換でき、その逆も可能であり、質量は常に保存されるわけではなく、より一般的な質量エネルギーの保存の一部となっているからである。
• 孤立系に対するエネルギー、運動量、角運動量の保存は、それぞれ時間の対称性、並進、回転に対応して見出される。
• 電荷保存則もまた認識されてきた。電荷が生成・消滅するのが観測されたことはなく、場所から場所へ移動するだけであることが見出されてきたからである。

連続と輸送

保存則は一般の連続の方程式（保存量に対するもの）を用いて表現でき、微分形式では次のように書ける:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} }$

ここで ρ は単位体積あたりの何らかの量、J はその量の流束（単位時間・単位面積あたりの量の変化）である。直感的には、ベクトル場の発散（∇⋅ で表される）は一点から放射状に外向きに発散する流束の尺度であり、その負号は一点に堆積する量である。したがって、空間のある領域における密度の変化率は、そこから流出するか集積する流束の量に等しくなければならない（詳細は主記事を参照）。以下の表では、輸送される各種物理量の流束と、それに対応する連続の方程式を比較のためにまとめた。

物理学・保存量	保存量 q	体積密度 ρ（q の）	流束 J（q の）	方程式
流体力学、流体	m = 質量（kg）	ρ = 体積密度（kg⋅m−3）	ρ u, ここで u = 流体の流速（m⋅s−1）	${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )}$
電磁気学、電荷	q = 電荷（C）	ρ = 体積電荷密度（C⋅m−3）	J = 電気電流密度（A⋅m−2）	${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} }$
熱力学、エネルギー	E = エネルギー（J）	u = 体積エネルギー密度（J⋅m−3）	q = 熱流束（W⋅m−2）	${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {q} }$
量子力学、確率	Ψ|2d3r = 確率分布	Ψ|2 = 確率密度関数（m−3）、 Ψ = 量子系の波動関数	j = 確率電流（英語版）/流束	${\displaystyle {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} }$

より一般的な方程式として移流拡散方程式とボルツマン方程式があり、いずれも連続の方程式に根ざしている。

最小作用の原理

ニュートンの法則、ラグランジュの方程式、ハミルトンの方程式などを含む古典力学は、次の原理から導出できる:

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\,dt=0}$

ここで ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ は作用、ラグランジアン

${\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {\dot {q}} ,t)-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

の積分であり、物理系の2つの時刻 t₁ と t₂ の間で取られる。系の運動エネルギーが T（系の配位空間の変化率の関数）、位置エネルギーが V（配位とその変化率の関数）である。N 個の自由度を持つ系の配置は一般化座標系 ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$ で定義される。

これらの座標に共役な一般化運動量 ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{N})}$ が存在し:

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$

作用とラグランジアンはすべての時刻に対する系の力学を含む。「経路」という語は、配位空間における一般化座標系で描かれる曲線、すなわち時間でパラメータ化された曲線 ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ を指す（パラメトリック方程式も参照）。

作用は関数ではなく汎函数である。作用はラグランジアンに依存し、ラグランジアンは経路 ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ に依存するから、作用は（t₁ から t₂ の区間における）経路の全「形状」に依存する。2つの時刻の間には無限に多くの経路があるが、作用が（一次の精度で）停留となる経路が真の経路である。ある経路に対応するラグランジュ値の全連続体に対する停留値が必要なのであって、ラグランジアンの一つの値ではない（言い換えれば、「関数を微分してゼロと置き、方程式を解いて極値などを求める」という単純な話ではなく、このアイデアを関数の全「形状」に適用する。この手順の詳細は変分法を参照）^[12]。

注意すべきは、L は系の全エネルギー E ではなく、和ではなく差ゆえに:

${\displaystyle E=T+V}$

以下の^[13][14]古典力学への一般的アプローチは確立された順に要約したものである。これらは同等な定式化である。ニュートンの方法は単純さゆえによく使われるが、ハミルトンやラグランジュの方程式はより一般的であり、適切な修正を施せば物理学の他の分野にも範囲を広げられる。

運動の法則
最小作用の原理: ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t\,\!}$
オイラー＝ラグランジュ方程式: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}}$ 一般化運動量の定義を用いると、次の対称性がある: ${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\quad {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {q}_{i}}}}$	ハミルトンの方程式 ${\displaystyle {\dfrac {\partial \mathbf {p} }{\partial t}}=-{\dfrac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle {\dfrac {\partial \mathbf {q} }{\partial t}}={\dfrac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}}$ 一般化座標と運動量の関数としてのハミルトニアンは一般に次の形を持つ: ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L}$
	ハミルトン–ヤコビ方程式 ${\displaystyle H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)=-{\frac {\partial S}{\partial t}}}$
ニュートンの法則 ニュートンの運動法則 これらは相対性理論の低速極限解である。ニュートン力学の代替定式化としてラグランジュ力学およびハミルトン力学がある。 法則は2つの方程式に要約できる（第1法則は合成加速度ゼロの場合、第2法則の特殊例だからである）: ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}},\quad \mathbf {F} _{ij}=-\mathbf {F} _{ji}}$ ここで p = 物体の運動量、Fij = 物体 j が物体 i に及ぼす力、Fji = 物体 i が物体 j に及ぼす力。 力学系に対しては、2つの方程式は（実質的に）1つに統合される: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{\mathrm {i} }}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{\text{E}}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}}$ ここで FE = 合成外力（系の外部の任意の原因による）。物体 i は自分自身に力を及ぼさない。

以上から、古典力学の任意の運動方程式を導出できる。

力学における帰結:

• オイラーの運動法則（英語版）
• オイラーの運動方程式

流体力学における帰結:

様々な状況における流体の流れを記述する方程式は、上述の古典的な運動方程式と、しばしば質量・エネルギー・運動量の保存を用いて導出できる。初等的な例をいくつか挙げる。

• アルキメデスの原理
• ベルヌーイの定理
• ポアズイユの法則
• ストークスの法則
• ナビエ–ストークス方程式
• ファクセーンの法則（英語版）

現代の法則

特殊相対性理論:

特殊相対性理論の2つの公準はそれ自体は「法則」ではなく、相対運動という観点からの自然の仮定である。

これらは「物理学の法則はすべての慣性系で同じである」、「光速は一定であり、すべての慣性系で同じ値を持つ」と述べることができる。

これらの公準はローレンツ変換（互いに相対運動する2つの基準系の間の変換法則）に帰着する。任意の4元ベクトルに対して

${\displaystyle A'=\Lambda A}$

これは古典力学のガリレイ変換則を置き換える。ローレンツ変換は、光速 c よりはるかに小さい低速ではガリレイ変換に帰着する。

4元ベクトルの大きさは不変量である。保存されるのではなく、すべての慣性系で同一である（すなわち慣性系のすべての観測者が同じ値に同意する）。特に A が4元運動量であれば、その大きさから質量エネルギーと運動量保存の有名な不変方程式が導かれる（不変質量を参照）:

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}$

ここで（より有名な）質量とエネルギーの等価性 E = mc² は特殊例である。

一般相対性理論:

一般相対性理論はアインシュタイン方程式に支配される。これは重力場に等価な質量エネルギーによる時空の曲率を記述する。質量分布により歪んだ空間の幾何についてこの方程式を解くと計量テンソルが得られる。測地線方程式を用いることで、測地線に沿って落下する質量の運動を計算できる。

重力磁気学（英語版）:

弱い重力場による比較的平坦な時空では、マクスウェルの方程式の重力類似物を見出すことができる。類似的な重力磁場を記述するGEM方程式である。これらは理論によってよく確立されており、実験的検証は進行中の研究である^[15]。

アインシュタイン方程式（EFE）: ${\displaystyle R_{\mu \nu }+\left(\Lambda -{\frac {R}{2}}\right)g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,\!}$ ここで Λ = 宇宙定数、Rμν = リッチテンソル、Tμν = エネルギー・運動量テンソル、gμν = 計量テンソル	測地線方程式: ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{2}x^{\lambda }}{{\rm {d}}t^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {{\rm {d}}x^{\mu }}{{\rm {d}}t}}{\frac {{\rm {d}}x^{\nu }}{{\rm {d}}t}}=0\ ,}$ ここで Γ は計量を含む第二種のクリストッフェル記号である。
GEM方程式 g を重力場、H を重力磁場とすると、これらの極限での解は: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho \,\!}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =\mathbf {0} \,\!}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {g} =-{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\,\!}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4}{c^{2}}}\left(-4\pi G\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {g} }{\partial t}}\right)\,\!}$ ここで ρ は質量密度、J は質量電流密度あるいは質量流束である。
さらに重力磁気ローレンツ力がある: ${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma (\mathbf {v} )m\left(\mathbf {g} +\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)}$ ここで m は粒子の不変質量、γ はローレンツ因子である。

古典の法則

ケプラーの法則は、元来は惑星の観測（ティコ・ブラーエにも負うところがある）から発見されたものであるが、任意の中心力に対して成り立つ^[16]。

ニュートンの万有引力の法則: 2つの点質量に対して: ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {Gm_{1}m_{2}}{\left|\mathbf {r} \right|^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \,\!}$ 体積 V の物体の局所質量密度 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$ が一様でない分布の場合、これは次のようになる: ${\displaystyle \mathbf {g} =G\int _{V}{\frac {\mathbf {r} \rho \,\mathrm {d} {V}}{\left|\mathbf {r} \right|^{3}}}\,\!}$	ガウスの法則 (重力)（英語版）: ニュートンの法則と等価な記述は: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =4\pi G\rho \,\!}$
ケプラーの第1法則: 惑星は恒星を焦点の一つとする楕円上を運動する ${\displaystyle r={\frac {\ell }{1+e\cos \theta }}\,\!}$ ここで ${\displaystyle e={\sqrt {1-(b/a)^{2}}}}$ は半長軸 a、半短軸 b の楕円軌道の離心率、ℓ は半通径である。この方程式自体は物理的に根源的な何ものでもなく、極（極座標系の原点）が楕円の焦点（周回される恒星の場所）に置かれた楕円の極方程式にすぎない。
ケプラーの第2法則: 等しい時間に等しい面積を掃過する（2つの動径距離と軌道周囲に挟まれた面積）: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {\left|\mathbf {L} \right|}{2m}}\,\!}$ ここで L は質量 m の粒子（すなわち惑星）の軌道焦点の周りの角運動量である。
ケプラーの第3法則: 軌道周期 T の2乗は半長軸 a の3乗に比例する: ${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G\left(m+M\right)}}a^{3}\,\!}$ ここで M は中心天体（すなわち恒星）の質量である。